Статьи

  • тест

    19\sqrt{19}

  • §5. Преобразование двойных радикалов

    Выражения вида a+bc\sqrt{a+b\sqrt{c}} называют двойными или сложными радикалами. Мы уже рассматривали примеры, в которых можно было избавиться от внешних радикалов. 

    Пример 1

    Освободитесь от внешнего радикала в выражении 23+415\sqrt{23+4\sqrt{15}}.

    Решение

    \triangle Заметим, что выражение 23+415=20+3+2·2·5·3=(25+3)223+4\sqrt{15}=20+3+2\cdot 2\cdot \sqrt{5}\cdot\sqrt{3}=(2\sqrt{5}+\sqrt{3})^2, тогда 23+415=(25+3)2=|25+3|=25+3\sqrt{23+4\sqrt{15}}=\sqrt{(2\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=|2\sqrt{5}+\sqrt{3}|=2\sqrt{5}+\sqrt{3}.

    Пример 2

    Освободитесь от внешнего радикала в выражении 124-703\sqrt{124-70\sqrt{3}}.

    Решение

    \triangle В этом примере укажем метод, по которому иногда можно избавляться от внешнего радикала. Подберём целые числа aa и bb такие, чтобы 124-703=a-b3\sqrt{124-70\sqrt{3}}=a-b\sqrt{3}. Если такие числа есть, то должны выполняться такие условия:

    $$\begin{cases} (a-b\sqrt{3})^2=124-70\sqrt{3}; \\ a-b\sqrt{3}\geq 0, \end{cases} $$

    Из первого условия получаем

    a2-2ab3+3b2=124-703;a2+3b2-124=2ab3-703a^2-2ab\sqrt{3}+3b^2=124-70\sqrt{3};\:\:\:\: a^2+3b^2-124=2ab\sqrt{3}-70\sqrt{3}.

    Так как aa и bb - целые числа, то выражение a2+3b2-124a^2+3b^2-124 является целым числом, значит, рациональным числом. Выражение (2ab-70)3(2ab-70)\sqrt{3} является рациональным числом, если

    $$\begin{cases}  (a-b\sqrt{3})^2=124-70\sqrt{3}; \\  a-b\sqrt{3}\geq 0, \end{cases} $$. и 2ab-70=02ab-70=0, т. е. ab=35ab=35

    Уравнению ab=35ab=35 удовлетворяют следующие пары чисел: a=1,b=35;a=5,b=7;a=7,b=5;a=35,b=1;a=-1,b=-35;a=1, b=35;\:\: a=5, b=7;\:\: a=7, b=5;\:\: a=35, b=1;\:\: a=-1, b=-35;\:\:

    a=-5,b=-7;a=-7,b=-5;a=-35,b=-1 a=-5, b=-7;\:\: a=-7, b=-5;\:\: a=-35, b=-1.

    Условию a2+3b2-124=0a^2+3b^2-124=0 удовлетворяют две пары чисел: a=7,b=5a=7, b=5 и a=-7,b=-5a=-7, b=-5. Число 7-537-5\sqrt{3} не удовлетворяет условию a-b30a-b\sqrt{3}\geq 0, а число -7+53-7+5\sqrt{3} удовлетворяет этому условию. Таким образом,  124-703=-7+53\sqrt{124-70\sqrt{3}}=-7+5\sqrt{3}. \blacktriangle

    В некоторых примерах удаётся избавиться от внешнего радикала, если воспользоваться тождеством

    a±b=a+a2-b2±a-a2-b2\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.

    Это тождество называют формулой двойного радикала. Оно справедливо, если a>0a>0, b>0b>0 и a2-b>0a^2-b>0. Тогда все три корня определены, a+a2-b2>a-a2-b2\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}>\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} и правая часть равенства положительна. 

    Возведем в квадрат обе части равенства. Получим:

    a±b=a+a2-b2+a-a2-b2±2a2-a2+b4,a±b=a±ba\pm\sqrt{b}=\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\pm 2\sqrt{\dfrac{a^2-a^2+b}{4}},\:\:\:\: a\pm\sqrt{b}=a\pm\sqrt{b}.

    Пример 3

    Освободитесь от внешнего радикала в выражении 56-2880\sqrt{56-\sqrt{2880}}, используя формулу двойного радикала. 

    Решение

    \triangle 56-2880=56+3136-28802-56-3136-28802=\sqrt{56-\sqrt{2880}}=\sqrt{\dfrac{56+\sqrt{3136-2880}}{2}}-\sqrt{\dfrac{56-\sqrt{3136-2880}}{2}}=

    =56+162-56-162=6-20=6-25=\sqrt{\dfrac{56+16}{2}}-\sqrt{\dfrac{56-16}{2}}=6-\sqrt{20}=6-2\sqrt{5}. \blacktriangle


  • §3. Свойства арифметического квадратного корня

    В школьном учебнике у вас доказываются теоремы.

    Теорема 2. Если a0a\geq 0 и b0b\geq 0, то ab=a·b\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.

    Теорема 3. Если a0a\geq 0 и b0b\geq 0, то ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

    Пример 1

    Найдите значение выражения(без калькулятора):

    а) 5·35·175;\sqrt{5\cdot 35\cdot 175}; \:\:\:\: б) 51149;\sqrt{5\dfrac{11}{49}}; \:\:\:\: в) 75192;\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}; \:\:\:\: г) 1492-7624572-3842;\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }; \:\:\:\: д) 163·44\sqrt{16^3\cdot 4^4}.

    Решение

    \triangle а) 5·35·175=175·175=175\sqrt{5\cdot 35\cdot 175}= \sqrt{175\cdot 175} = 175.

    б) 51149=25649=167.\sqrt{5\dfrac{11}{49} }= \sqrt{\dfrac{256}{49}}=\dfrac{16}{7}. \:\:\: в) 75192=75192=2564=58\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}=\sqrt{\dfrac{75}{192}}=\sqrt{\dfrac{25}{64}}=\dfrac{5}{8}.

    г) 1492-7624572-3842=(149-76)(149+76)(457-384)(457+384)=73·22573·841=225841=225841=1529\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2} }=\sqrt{\dfrac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)} }=\sqrt{\dfrac{73\cdot 225}{73 \cdot 841} }= \sqrt{\dfrac{225}{841}}=\dfrac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\dfrac{15}{29}

    д) 163·44=(42)3·44=46·44=410=(45)2=45\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{(4^2)^3\cdot 4^4}=\sqrt{4^6\cdot 4^4}=\sqrt{4^{10}}=\sqrt{(4^5)^2}=4^5.

    Можно решать и другим способом.

    163·44=162·16·44=162·16·(42)2=16·4·42=42·4·42=45\sqrt{16^3\cdot 4^4}=\sqrt{16^2\cdot 16 \cdot 4^4}=\sqrt{16^2}\cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{(4^2)^2}=16\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^2\cdot 4 \cdot 4^2 = 4^5. \blacktriangle

    Рассмотрим 48\sqrt{48}. Преобразуем это выражение:

    48=16·3=16·3=43\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{3}=4 \sqrt{3}.

    В этом случае мы говорим, что множитель 44 вынесен из-под знака корня.

    Теперь рассмотрим выражение 575\sqrt{7}, преобразуем его:

    57=25·7=25·7=1755\sqrt{7}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{25\cdot 7}= \sqrt{175}.

    В этом случае мы говорим, что множитель 55 внесли под знак корня.

    Пример 2

    Вынесите множитель из-под знака корня:

    а) (513-419)2;\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}; \:\:\:\: б) (7-11)3(3-5)5;\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^3(\sqrt{3}-\sqrt{5})^5};

    в) --a4b11;-\sqrt{-a^4 b^{11} };\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: г) 21(xy)2\sqrt{21(xy)^2}, если xy0xy\leq 0

    Решение

    \triangle а) Так как a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|, то (513-419)2=|513-419|.\sqrt{(5\sqrt{13}-4\sqrt{19})^2}=|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|.

    Определим знак числа 513-4195\sqrt{13}-4\sqrt{19}. Числа 5135\sqrt{13} и 4194\sqrt{19} положительные. Рассмотрим их квадраты: (513)2=25·13=325(5\sqrt{13})^2=25\cdot 13 = 325 и (419)2=16·19=304(4\sqrt{19})^2=16\cdot 19=304. Так как 304<325304<325, то 304<325\sqrt{304}<\sqrt{325}, т. е. 513>4195\sqrt{13}>4\sqrt{19}, поэтому |513-419|=513-419|5\sqrt{13}-4\sqrt{19}|=5\sqrt{13}-4\sqrt{19}.

    б) (7-11)3(3-5)5=(7-11)2(7-11)(3-5)4(3-5)=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^3(\sqrt{3}-\sqrt{5})^5}=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})^2(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})^4(\sqrt{3}-\sqrt{5})}=

    =|7-11|(3-5)2(7-11)(3-5)=|\sqrt{7}-\sqrt{11}|(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}.

    Число 7<11\sqrt{7}<\sqrt{11}, т. к. (7)2=7(\sqrt{7})^2=7, (11)2=11(\sqrt{11})^2=11 и 7<117<11. Поэтому 7-11<0\sqrt{7}-\sqrt{11}<0, т. е. |7-11|=11-7|\sqrt{7}-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-\sqrt{7}.

    Окончательно получаем:

    (11-7)(3-5)2(7-11)(3-5)(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{11})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}.

    в) Так как a40a^4\geq 0, то корень определен, если -b110-b^{11}\geq 0, т. е .b110b^{11}\leq 0, b0\: b\leq 0.

    -a4(-b5)2(-b)=-a2(-b5)-b=a2b5-b-\sqrt{a^4(-b^5)^2(-b)}=-a^2 (-b^5) \sqrt{-b}=a^2b^5\sqrt{-b}.

    г) 21(xy)2=|xy|21=-xy21\sqrt{21(xy)^2}=|xy|\sqrt{21}=-xy\sqrt{21}. \blacktriangle

    Пример 3

    Внесите множитель под знак корня:

    а) (5-37)2+3;(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}; \:\:\:\: б) (2a-1)1-2a;(2a-1)\sqrt{1-2a};\:\:\:\: в) -3xy-1(xy)3-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}.

    Решение

    \triangle При решении этих примеров используем формулу a2=|a|\sqrt{a^2}=|a|.

    а) Число 5-37<05-\sqrt{37}<0, т. к. 52=255^2=25, (37)2=37(\sqrt{37})^2=37 и 25<3725<37. Поэтому 

    (5-37)2+3=-(37-5)2+3=-(37-5)2(2+3)(5-\sqrt{37})\sqrt{\sqrt{2}+3}=-(\sqrt{37}-5)\sqrt{\sqrt{2}+3}=-\sqrt{(\sqrt{37}-5)^2(\sqrt{2}+3)}.

    б) Корень 1-2a\sqrt{1-2a} определен, если 1-2a01-2a \geq 0, 2a12a\leq 1, a12a\leq \frac{1}{2}. При таких aa выражение 2a-102a-1\leq 0. Поэтому

    (2a-1)1-2a=-(1-2a)1-2a=-(1-2a)2(1-2a)=-(1-2a)3(2a-1)\sqrt{1-2a}=-(1-2a)\sqrt{1-2a}=-\sqrt{(1-2a)^2(1-2a)}=-\sqrt{(1-2a)^3}.

    в) Корень -1(xy)3\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}} определен, если xy<0xy<0. Поэтому

    -3xy-1(xy)3=3(-xy)-1(xy)3=9(-xy)2(-1(xy)3)=-9xy-3xy\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=3(-xy)\sqrt{-\dfrac{1}{(xy)^3}}=\sqrt{9(-xy)^2(-\dfrac{1}{(xy)^3})}=\sqrt{\dfrac{-9}{xy}}. \blacktriangle

    Пример 4

    Сравните числа aa и bb:

    а) a=3+11a=\sqrt{3}+\sqrt{11} и b=6+8;b=\sqrt{6}+\sqrt{8};\:\:\:\: б) a=2-3a=2-\sqrt{3} и b=7-43b=\sqrt{7-4\sqrt{3}};

    в) a=25+33-25-33a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}} и b=110b=\sqrt{110}

    Решение

    \triangle а) Числа aa и bb положительные. Рассмотрим квадраты этих чисел. Имеем: a2=3+2311+11=14+233a^2=3+2\sqrt{3}\sqrt{11}+11=14+2\sqrt{33}, b2=6+268+8=14+248b^2=6+2\sqrt{6}\sqrt{8}+8=14+2\sqrt{48}. Так как 48>3348>33, то 48>33\sqrt{48}>\sqrt{33},  248>2332\sqrt{48}>2\sqrt{33}, поэтому b2>a2b^2>a^2 и b>ab>a.

    б) Число a>0a>0, т. к. 22>(3)2=32^2>(\sqrt{3})^2=3. Число 7-43>07-4\sqrt{3}>0, т. к. 72>(43)2=487^2>(4\sqrt{3})^2=48. Отсюда следует, что число bb определено и оно больше нуля. 

    Таким образом, числа aa и bb положительные. Рассмотрим их квадраты: a2=(2-3)2=4-43+3=7-43,a^2=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3},\:\: b2=7-43b^2=7-4\sqrt{3}. Следовательно, a=ba=b.

    в) a=25+33-25-33a=\dfrac{2}{5+3\sqrt{3}}-\dfrac{2}{5-3\sqrt{3}}.

    Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

    a=10-63-10-63(5+33)(5-33)=-123-2=63=108a=\dfrac{10-6\sqrt{3}-10-6\sqrt{3}}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\dfrac{-12\sqrt{3}}{-2}=6\sqrt{3}=\sqrt{108}.

    Так как 110>108110>108, то 110>108\sqrt{110}>\sqrt{108} и b>ab>a. \blacktriangle

    Пример 5
    а) Укажите два рациональных числа, лежащих между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}.
    б) Укажите два иррациональных числа, лежащих между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}.
    Решение

    \triangle а) Из теоремы сравнения корней следует, что 1<3<4\sqrt{1}<\sqrt{3}<\sqrt{4}. т. е. 1<3<21<\sqrt{3}<2. Заметим, что число 1.82=3.24>31.8^2=3.24>3, а 1.92=3.61>31.9^2=3.61>3, таким образом 3<1.8<2<5\sqrt{3}<1.8<2<\sqrt{5}, т. е. 1.81.8 является числом рациональным и располагается между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}. Число 1.91.9 удовлетворяет неравенству 3<1.9<2<5\sqrt{3}<1.9<2<\sqrt{5}, т. е. 1.91.9 также располагается между числами 3\sqrt{3} и 5\sqrt{5}.

    б) Иррациональные числа являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Рассмотрим дробь a=1,810110111011110...a=1,810110111011110... Это бесконечная непериодическая дробь, после цифры 88 идет цифра 11, затем ноль, затем 22 цифры 11, снова ноль и т. д. Данная дробь больше, чем 1.81.8, т. к. после цифры .88 идет 11. Для числа aa выполняются неравенства 3<a<2<5\sqrt{3}<a<2<\sqrt{5}

    Аналогично строим вторую дробь: b=1,820220222022220...b=1,820220222022220...\:, 3<b<2<5\sqrt{3}<b<2<\sqrt{5}. \blacktriangle

    Пример 6

    Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

    а) 235-7;\dfrac{2}{3\sqrt{5}-\sqrt{7}};\:\:\:\: б) 1+23-2+5\dfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}+\sqrt{5}}.

    Решение

    \triangle Эту задачу надо понимать так: следует так преобразовать дробь, чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни. 

    При решении этих задач полезно использовать формулу:

    (a-b)(a+b)=a2-b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

    а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 35+73\sqrt{5}+\sqrt{7}. Получим:

    2(35+7)(35-7)(35+7)=65+27(35)2-(7)2=65+2745-7=35+719\dfrac{2(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(3\sqrt{5}-\sqrt{7})(3\sqrt{5}+\sqrt{7})}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{(3\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{6\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{45-7}=\dfrac{3\sqrt{5}+\sqrt{7}}{19}.

    б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение (3-2)-50(3-\sqrt{2})-\sqrt{5}\neq 0. Получим: (1+2)((3-2)-5)((3-2)+5)((3-2)-5)=3-2-5+32-2-10(9+2-62)-5=\dfrac{(1+\sqrt{2})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}{((3-\sqrt{2})+\sqrt{5})((3-\sqrt{2})-\sqrt{5})}=\dfrac{3-\sqrt{2}-\sqrt{5}+3\sqrt{2}-2-\sqrt{10}}{(9+2-6\sqrt{2})-5}=

    =1+22-5-106(1-2)=\dfrac{1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10}}{6(1-\sqrt{2})}.

    В полученной дроби умножаем числитель и знаменатель на 1+21+\sqrt{2}, получаем: (1+2)(1+22-5-10)6(1-2)=-1+2+22+4-5-10-10-206=\dfrac{(1+\sqrt{2})(1+2\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10})}{6(1-2)}=-\dfrac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4-\sqrt{5}-\sqrt{10}-\sqrt{10}-\sqrt{20}}{6}=

    =-5+32-35-2106=-\dfrac{5+3\sqrt{2}-3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{6}. \blacktriangle


  • §3. Показательные уравнения

    Из монотонности показательной функции следует, что ax=ayx=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.

    Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b0b \leq 0 не имеет решения, а при b>0b>0 имеет единственный корень x=logabx=\textrm{log}_a{b}.

    Для успешного решения большинства учебных примеров решающим является умение преобразовать исходное уравнение к более простому. Более простыми можно считать два основных уравнения:

    1. af(x)=b(x)f(x)=logab(x)a^{f(x)} = b(x) \Leftrightarrow f(x) = \textrm{log}_a{b(x)},

    2. g(af(x))=0 g(a^{f(x)}) = 0.

    Уравнение 2 заменной переменной af(x)=ta^{f(x)} = t сводится к уравнению g(t)=0g(t)=0, у которого отыскиваются положительные корни, а затем решаются уравнения типа 1. Заметим, что 

    $$ 1^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow 1=g(x), \:\:\: 0^{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)>0, \\ g(x)=0. \end{cases}$$

    Пример 1.(МГУ, 1970).

    Решить уравнение 43x2-2x+1+2=9·23x2-2x4^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}.

    Решение
    43x2-2x+1+2=9·23x2-2x4·223x2-2x-9·23x2-2x+2=04^{\sqrt{3x^2-2x}+1}+2=9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}} \Leftrightarrow 4\cdot 2^{2\sqrt{3x^2-2x}}-9\cdot 2^{\sqrt{3x^2-2x}}+2=0 \Leftrightarrow
     
    4(23x2-2x)2-9(23x2-2x)+2=0(23x2-2x-2)(23x2-2x-14)=0\Leftrightarrow 4(2^{\sqrt{3x^2-2x}})^2-9(2^{\sqrt{3x^2-2x}})+2 = 0 \Leftrightarrow (2^{\sqrt{3x^2-2x}}-2)(2^{\sqrt{3x^2-2x}}-\frac{1}{4})=0 \Leftrightarrow
    ОТВЕТ
    x=1x=1 или x=-13x=-\frac{1}{3}.
    Пример 2

    Решить уравнение 8x-13·4x3x-2x9x+13·33x=08^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0.

    Решение

    8x-13·4x3x-2x9x+13·33x=023x-13·22x3x-2x32x+13·33x=08^x-13\cdot 4^x3^x-2^x9^x+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow 2^{3x}-13\cdot 2^{2x}3^{x}-2^{x}3^{2x}+13\cdot 3^{3x}=0 \Leftrightarrow

    23x(1-13·(32)x-(32)2x+13(32)3x)=0 \Leftrightarrow 2^{3x}(1-13\cdot (\frac{3}{2})^{x}-(\frac{3}{2})^{2x}+13(\frac{3}{2})^{3x})=0 .

    Пусть (32)x=t>0(\frac{3}{2})^x=t>0, тогда уравнение примет вид 1-13t-t2+13t3=01-13t-t^2+13t^3=0.

    1-13t-t2+13t3=0(1-t2)(1-13t)=0t=±1;113x=0;-log32131-13t-t^2+13t^3=0 \Leftrightarrow (1-t^2)(1-13t)=0 \Leftrightarrow t=\pm1;\dfrac{1}{13} \Rightarrow x=0;-\textrm{log}_{\frac{3}{2}}{13}.

    ОТВЕТ

    0,-log32130, -\textrm{log}_{\frac{3}{2}}{13}.

    Пример 3

    Решить уравнение 500·8x=8·51x500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\frac{1}{x}}.

    Решение

    500·8x=8·51x532223x=2351x23x-1=51x-3(3x-1)log52=1x-3500\cdot 8^x = 8\cdot 5^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow 5^32^22^{3x} = 2^35^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow 2^{3x-1} = 5^{\frac{1}{x}-3} \Leftrightarrow (3x-1)\textrm{log}_5{2}=\dfrac{1}{x}-3 \Leftrightarrow

    x=log52-3±(log52+3)6log52 x = \dfrac{\textrm{log}_5{2} -3 \pm (\textrm{log}_5{2}+3)}{6\textrm{log}_5{2}} \Leftrightarrow


    ОТВЕТ

    x=13x=\frac{1}{3} или x=-log25x=-\textrm{log}_2{5}.

    Пример 4.(МГУ, 1997)

    Решить уравнение 12x+13x=5\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}=5.

    Решение

    Это уравнение удаётся решить, используя то, что левая часть уравнения является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что x=-1x=-1.

    ОТВЕТ

    x=-1x=-1.

    Пример 5

    При каких действительных pp уравнение 4x+2x+2+7=p-4-x-2·21-x4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет решение?

    Решение

    4x+4·2x+7+42x+14x-p=042x+4·4x·2x+(7-p)·4x+4·2x+1=04^x+4\cdot 2^x+7+\frac{4}{2^x} +\frac{1}{4^x} - p = 0 \Leftrightarrow 4^{2x}+4\cdot 4^x\cdot 2^x+(7-p)\cdot 4^x +4\cdot 2^x + 1 = 0. Пусть t=2x>0t=2^x>0. Тогда уравнение примет вид

    t4+4t3+(7-p)t2+4t+1=t2(t2+4t+(7-p)+4t+1t2)=0t^4+4t^3+(7-p)t^2+4t+1=t^2(t^2+4t+(7-p)+\frac{4}{t}+\frac{1}{t^2})=0.

    Это возвратное уравнение. Оно решается заменой переменных y=t+1ty = t+\frac{1}{t}, причем y=t2+1t=(t-1)2-2tt=2+(t-1)2t2y=\frac{t^2+1}{t}= \frac{(t-1)^2-2t}{t} = 2+\frac{(t-1)^2}{t} \geq 2 для любого t>0t>0. Уравнение принимает вид

    (t2+2+1t2)+4(t+1t)+(5-p)=y2+4y+(5-p)=0(t^2+2+\frac{1}{t^2})+4(t+\frac{1}{t})+(5-p) = y^2+4y +(5-p)=0.

    Так как вершина параболы z=y2+4y+(5-p)z=y^2+4y+(5-p) расположена слева от оси zz и ветви направлены вверх, то корень y02y_0 \geq 2 существует тогда и только тогда, когда z(2)04+8+5-p0p17z(2)\leq 0 \Leftrightarrow 4+8+5-p \leq 0 \Leftrightarrow p\geq 17.

    ОТВЕТ

    p[17;+)p \in [17; +\infty).



  • §1. Введение

    Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.


    В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:


    С1. aαaβ=aα+β,a^{\alpha}a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}, С2. aαaβ=aα-β \frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}.
    С3. aαbα=(ab)α. a^{\alpha}b^{\alpha} = (ab)^{\alpha}. С4. aαbα=(ab)α\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}} = (\frac{a}{b})^{\alpha} .


    Если a>0a>0, a1a \neq 1, то функция ax a^x отлична от постоянной. Ее называют показательной функцией с основанием a a . Если a>1a>1, то функция axa^x монотонно возрастающая на RR; если `0<a<1`, то функция axa^x - монотонно убывающая на RR. Область значений показательной функции - множество R+R_{+} всех действительных чисел. Отсюда и из монотонности следует, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, то для любого положительного числа NN существует единственное число xx, такое, что ax=Na^x = N. Это число называется логарифмом числа NN по основанию aa и обозначается logaN\textrm{log}_a{N}. Из определения следует, что


    alogaN=N a^{\textrm{log}_a{N}} = N в ОДЗ.


    Это равенство называется основным логарифмическим тождеством в ОДЗ (только для N>0N>0, a>0a>0, a1a \neq 1).


    В школе показывается, что, если a>0a>0, a1a \neq 1, M>0M>0, N>0N>0, α\alpha - любое действительное число, то верны формулы


    С5. logaMN=logaM+logaN \textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{M} + \textrm{log}_a{N} . С6. logaMN=logaM-logaN \textrm{log}_a{\frac{M}{N}} = \textrm{log}_a{M}-\textrm{log}_a{N} .


    С7. logaMα=αlogaM \textrm{log}_a{M^{\alpha}} = \alpha \textrm{log}_a{M} .


    С8. Если, к тому же, b>0b>0, b1b \neq 1, то logaM=logbMlogba\textrm{log}_a{M} = \dfrac{\textrm{log}_b{M}}{\textrm{log}_b{a}} .


    Последняя формула позволяет переходить от логарифма по основанию aa к логарифму по основанию bb. Она называется формулой перехода к новому основанию.


    Свойства 5-8 при вышеописанных условиях (M>0M>0, N>0N>0) являются тождествами и читаются как справа налево, так и слева направо.


    Заметим, однако, что левые и правые части равенств в С5 и С6 имеют разные области определения: левая часть определена при MN>0MN>0, а правая - при M>0M>0, N>0N>0. Это надо учитывать при решении задач: MN>0MN>0 не только тогда, когда M>0M>0, N>0N>0, но и тогда, когда M<0M<0, N<0N<0. Учтем, что MN=(-M)(-N)MN = (-M)(-N), и для -M>0-M>0, -N>0-N>0 (в силу С5) loga(-M)(-N)=loga(-M)+loga(-N) \textrm{log}_a{(-M)(-N)} = \textrm{log}_a{(-M)} + \textrm{log}_a{(-N)} . Теперь запишем более общую формулу


    С5*5^*. Если MN>0MN>0, то logaMN=loga|M|+loga|N|\textrm{log}_a{MN} = \textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} .


    С9. Если M0M \neq 0, N0N \neq 0, то loga|M|+loga|N|=loga|MN|\textrm{log}_a{|M|} + \textrm{log}_a{|N|} = \textrm{log}_a{|MN|} .


    Аналогично показывается, что


    C6*6^*. Если MN>0 MN > 0, то logaMN=logaM-logaN \textrm{log}_{a} \frac{M}{N} = \textrm{log}_{a} M - \textrm{log}_{a} N.


    С10. Если M0 M \neq 0 , N0 N \neq 0 , то loga|M|-loga|N|=loga|MN|\textrm{log}_{a}|M| - \textrm{log}_{a}|N|=\textrm{log}_{a}|\frac{M}{N}|.


    С7*7^*. Если M0M \neq 0 , то для любого натурального nn верно, что logaM2n=2nloga|M|\textrm{log}_{a}M^{2n} = 2n \textrm{log}_{a}|M|.


    Все свойства читаются в обе стороны (т.е являются тождествами), при выполнении приведенных для каждого из них условий.



  • §2. Логарифмирование и потенцирование

    При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (a>0(a>0,a1)a \neq 1 ) называется переход к уравнению logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}. При этом область существования уравнения сужается, т.к логарифмы существуют только у положительных чисел. Например,

     

    Уравнения не равносильны, т.к имеют разные множества решений.

    Потенцированием называется переход от уравнения logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} к уравнению f(x)=g(x)f(x)=g(x). При этом область определения расширяется, т.к второе уравнение может существовать при любых f(x)f(x), g(x)g(x), а первое - только при положительных. Поэтому запишем и запомним:

    С11. Если f(x)=g(x)f(x)=g(x) и f(x)>0f(x)>0 или g(x)>0g(x)>0, то logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)}=\textrm{log}_a{g(x)}.

    С12. Если logaf(x)=logag(x)\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)}, то f(x)>0f(x)>0, g(x)>0g(x)>0 и f(x)=g(x)f(x)=g(x).

    При решении логарифмического уравнения достаточно проверить положительность одной из функций, т.к из последующегоих равенства следует положительность и другой. Итак, из С11 и С12 следует условие равносильности

    $$\textrm{log}_a{f(x)} = \textrm{log}_a{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0, \\ f(x) = g(x). \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) > 0, \\ f(x) = g(x).\end{cases} $$ (УР Л1)

  • Начало университетских суббот МФТИ

    Уважаемые друзья и коллеги!

    С удовольствием сообщаем об открытии ежегодного цикла «Университетских суббот» в МФТИ.

    Приглашаем 02 декабря на лекцию – «Старение как болезнь: можно ли вылечить старость?"

    В природе найдено несколько видов нестареющих животных, а экспериментальные методы позволяют в разы продлить жизнь организмам.

    Новые открытия в области разработки терапий против старения признаны одними из самых значимых событий по версии журнала Science в 2016 году. Такие корпорации, как Facebook и Google уже включились в борьбу за лекарство от старости.

    На этой лекции мы обсудим последние прорывы в исследованиях против старения и дальнейшие перспективы этой области.

    Во второй части  продемонстрируем  захватывающие физические опыты, которые вы сможете не только наблюдать, но и принять участие в их проведении.

    В прологе  к лекции  студенты расскажут о секретах поступления и правилах приема в 2018 году

    Лектор - Коган Валерия, руководитель проекта «Старение» в компании “Gerо”, PhD student,  автор Top-100 most read статьи в журнале Nature Scientific Reports.

    ! Вход на мероприятие по предварительной регистрации на портале «Университетские субботы» по ссылке http://us.dogm.mos.ru/events-list/37/22551

  • §3. Разбор случаев

    При написании программ с ветвлениями очень часто возникает ситуация, когда ветвей становится слишком много. Поэтому приходится задумываться о том, как ничего не упустить из рассмотрения, как не рассматривать несущественные случаи и как обеспечить выполнение ровно одной ветви при разборе случаев.

    Начнём с ответа на последний вопрос. Для того, чтобы обеспечить выполнение ровно одной ветви алгоритма, необходимо записывать весь разбор случаев в виде одного условного оператора. Конечно же, он будет сложный, с вложенными многоуровневыми проверками. Однако, если в итоге условный оператор, реализующий разбор случаев, один (а не несколько, записанных через точку с запятой), то это гарантирует нам, что в итоге выполнится ровно одна ветвь алгоритма.

    Для того, чтобы не упустить из рассмотрения никаких случаев и не рассматривать несущественные случаи, нужно перебирать их не в случайном порядке, а по какой-либо стратегии. Сейчас мы рассмотрим одну из стратегий разбора случаев, которую условно можно назвать «Естественное возникновение». Её суть заключается в следующем: Изначально, мы решаем задачу так, будто бы никакого деления на случаи нет, а появляется оно лишь тогда, когда выполнить основной сценарий невозможно.

    Рассмотрим  следующий  пример  задачи:

    Пример задачи

    Решить  в  целых  числах линейное уравнение `ax=b`.

    Решение

    На вход программе здесь будут подаваться коэффициенты уравнения, а программа должна будет либо вычислить корень, либо вывести сообщение об особой ситуации (нет корней, бесконечно много корней и т. д.). Будем разбирать случаи согласно нашей стратегии. Сначала посмотрим, как мы в принципе решаем подобное уравнение. Для нахождения значения `x` нужно коэффициент `b` разделить на коэффициент `a`. Очевидно, что это невозможно сделать, если `a=0`. Поэтому первая проверка, которая делит всё множество случаев на две принципиально разные ветки: верно ли, что `a=0`? Если это так, то у нас получается уравнение `0x=b`, существование решений которого зависит от значения `b`. Если `b=0`, то решений бесконечно много, если же это не так, то решений нет вообще. Вернёмся к проверке коэффициента `a`. Если он не равен нулю, то это означает, что уравнение имеет единственное решение. Вопрос теперь в том, целое оно или нет. Поэтому здесь нужно будет проверить, что `b` нацело делится на `a` (остаток от деления должен быть равен нулю). Если это так, то находится единственное решение, если же нет, то целых решений у уравнения нет. Запишем теперь все наши рассуждения в виде программы:

    var a,b:integer;

    begin

     readln(a,b);

     if a=0

      then if b=0

       then writeln('many solutions')

       else writeln('no solution')  

      else if b mod a = 0

       then writeln( b div a)

       else writeln('no solution')

    end.

         Мы видим, что программа получилось достаточно удобно читаемой и содержит только очень простые проверки (без логических связок). Простота проверок является одним из существенных достоинств используемой стратегии разбора случаев. К сожалению, это именно стратегия, а не алгоритм. Поэтому существует много задач, где такое рассуждение не сработает, однако рекомендуется взять данный метод на вооружение.

    Теперь вам будут предложены контрольные вопросы и задачи. За каждый правильный ответ будут ставиться баллы. Максимальное количество баллов за задание указано в скобках после его номера. Если задание стоит более одного балла, то возможно получить частичный балл за частично верное решение. Имейте в виду, что более объёмные и сложные задания стоят дороже. Итоговая оценка будет определяться по сумме набранных баллов. Желаем успеха!      

  • §2. Условный оператор

    В рассматриваемых ранее задачах на программирование процесс вычисления был линейным, то есть программа не должна была выполнять разные действия в зависимости от того, какие данные ей ввели. Теперь рассмотрим задачи с ветвящимся алгоритмом.

    Пример

    Ввести номер года. Вывести слово YES, если год високосный, и NO, если он – не високосный.

    Решение

    По условию очевидно, что в зависимости от входных данных программа должна будет выполнить один из двух операторов вывода: Writeln('YES') или Writeln('NO'). При этом написать в программе нам придётся оба, а вот выполняться должен будет только один из них. Для того чтобы реализовывать подобные ветвления алгоритма, в языке Pascal существует условный оператор. В общем виде он выглядит следующим образом:

    if логическое выражение

       then оператор

       else оператор

    Слова if, then и else являются служебными зарезервированными словами языка. Работает эта конструкция так: сначала вычисляется логическое выражение, стоящее после if. Если получилось значение true, то выполняется оператор, стоящий после слова then, а если получилось значение false, то выполняется оператор, стоящий после слова else.

    Обратите внимание, что внутри условного оператора нет никаких точек с запятой, поскольку он является единой конструкцией, а точка с запятой – это разделитель между операторами. Для удобства чтения и отладки программ принято условие записывать на одной строке, а ветви then и else начинать с новой строки, однако это не является синтаксическим правилом языка.

    В качестве примера условного оператора рассмотрим решение задачи, поставленной выше. Год считается високосным, если он делится нацело на 400, или если он  делится нацело на 4, но не делится нацело на 100. Проверять делимость мы уже умеем, поэтому осталось только записать это условие в виде программы:

    var y:integer;

    begin

      write('Введите номер года ');

      readln(y);

      if(y mod 400=0)or(y mod 4=0)and(y mod 100<>0)

       then writeln('YES')

       else writeln('NO');

    end

    По грамматике языка после слов then и else должен стоять только один оператор языка. То есть запись if x>0 then x:=4; y:=0 else z:=9; является синтаксически неверной. А как быть, если всё-таки нужно выполнить более одного оператора? Для таких случаев в языке Pascal предусмотрен составной оператор, который позволяет превратить группу операторов в один. Выглядит он следующим образом: сначала записывается служебное зарезервированное слово begin, далее – интересующая нас последовательность операторов через точку с запятой, а в конце пишется служебное зарезервированное слово end. В отличие от конца программы, точка после этого слова не ставится. Слова begin и end называют операторными скобками. Запишем правильную версию условного оператора, приведённого выше: if x>0 then begin x:=4; y:=0 end else z:=9;

    Обратите внимание на следующий тонкий момент: если требуется выполнить более одного оператора в ветке then, и при этом мы забудем написать операторные скобки, то это является синтаксической ошибкой, и программа просто не будет работать. Если же забыть написать операторные скобки в ветке else, то программа работать будет, но не так, как предполагалось.

    Рассмотрим пример: if x>0 then y:=9 else z:=8; c:=5;

    В этом примере условный оператор заканчивается после z:=8;  в то время как оператор c:=5; является следующим оператором программы и выполняется независимо от результата сравнения x с нулём. Если же написать операторные скобки, то присваивание в c числа 5 произойдёт только в случае x<=0.

    Ещё один тонкий момент заключается в том, что в ветке else в качестве оператора может стоять и пустой оператор. Рассмотрим следующий пример.


    Задача

    Вводятся 3 целых числа – a,b,c. Требуется в переменную a записать минимальное из этих чисел, в b – среднее и в c – максимальное.

    Решение

    Алгоритм решения этой задачи такой: сначала сравним значения переменных a и b, если значение a – больше, поменяем их местами. После этого сравним значения переменных a и с, и если значение a – больше, поменяем их местами. После этих двух сравнений в переменной a гарантированно окажется наименьшее из трёх чисел. Осталось сравнить переменные b и c, и в случае, когда в переменной b находится большее значение, поменять их местами.

    Очевидно, что в этом алгоритме у нас три сравнения, следовательно, три последовательных условных оператора. При этом в каждом из них какие-то действия (поменять местами значения двух переменных) нужно выполнять только в ветке then, в ветке else (например, если в первом сравнении в переменной a находится уже более маленькое число, чем в переменной b) никаких действий выполнять не нужно. РАссмортим код программы: В этом случае, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора.

    var a,b,c,x:integer;

    begin

      writeln('введите три целых числа ');

      readln(a,b,c);

      if a>b then begin x:=a; a:=b; b:=x end;

      if a>c then begin x:=a; a:=c; c:=x end;

      if b>c then begin x:=b; b:=c; c:=x end;

      writeln(a,b,c);

      readln

    end.

    Как видно из примера, грамматика языка программирования позволяет вообще не записывать даже слово else, в случае, когда там не надо выполнять никаких действий. Такая конструкция называется сокращённой формой условного оператора. При использовании сокращённой формы условного оператора, если при вычислении логического выражения получилось значение false, то управление передаётся на следующий оператор программы.

    Использование сокращённой формы условного оператора порождает проблему неоднозначности интерпретации логики действий программы в случае вложенных условных операторов. Рассмотрим следующий пример:

    if x>0

     then if y>0

       then z:=0

     else c:=7;

    Вопрос состоит в том, какой из двух условных операторов является полным, а какой – сокращённым. К сожалению, ответ на этот вопрос существует только в виде дополнительного семантического правила языка программирования. Принято, что ветка else всегда относится к ближайшему if без else (по принципу правильной скобочной системы). То есть, в нашем случае внутренний условный оператор является полным, а внешний – сокращённым. Если же мы хотим добиться обратной логики действий (чтобы внешний условный оператор был полным), нам необходимо заключить внутренний условный оператор в операторные скобки. Выглядеть это будет следующим образом:

    if x>0

     then begin

      if y>0

       then z:=0

      end

     else c:=7;

        

        

         

        

  • §1. Логический тип переменных. Логические выражения

    В прошлом задании мы работали с числовыми типами переменных и учили арифметику, теперь познакомимся с логическим типом переменных, который называется Boolean. Переменные этого типа имеют всего два значения - true и false (соответственно, «истина» и «ложь»). Подобно числовым переменным им можно присваивать значения при помощи оператора присваивания. При этом необходимо строго соблюдать правило совместимости типов. То есть, логическим переменным нельзя присваивать числовые значения, а числовым - логические. Так же можно выводить значения логических переменных на экран, а вот вводить их с клавиатуры нельзя! 

    В языке Pascal определены `6` операций сравнения, результатом которых является логическое значение:

    1) «больше» (>)

    2) «больше или равно» (>=)

    3) «меньше» (<)

    4) «меньше или равно» (<=)

    5) «равно» (=)

    6) «не равно» (<>).

     

         Например, операция `5>2` всегда выдаст значение true, а операция `x<>3` выдаст значение true, если переменная x имеет любое значение, кроме `3`.

         Сравнивать можно не только числа (причём как целые, так и вещественные), но и логические значения. При этом считается, что значение true больше, чем значение false.

         При выполнении сравнений также необходимо соблюдать совместимость типов. То есть, можно сравнивать число с числом или логическое значение с логическим значением, но нельзя сравнивать число с логическим значением. Такое сравнение выдаст ошибку.

         Помимо операций сравнения ещё существуют и логические операции:

    1) and (конъюнкция, логическое умножение, операция «И»)

    2) or (дизъюнкция, логическое сложение, операция «ИЛИ»)

    3) not (отрицание, инверсия)

    4) xor (строгая дизъюнкция, исключающее «ИЛИ», сложение по модулю `2`).

    В скобках указаны возможные названия данных операций в алгебре логики.

    Операнды этих операций должны быть логического типа. Результат вычислений также будет логический. При этом операции and, or, xor имеют по два операнда, а операция not - всего один, который записывается справа от названия операции. Названия логических операций являются служебными зарезервированными словами языка.

    Приведём таблицы результатов логических операций для всех возможных значений операндов (в алгебре логики такие таблицы называются таблицами истинности):

     

    X

    not x

    false

    true

    True

    false

     

     

    X

    y

    x and y

    x or y

    x xor y

    false

    false

    false

    False

    false

    false

    true

    false

    True

    True

    true

    false

    false

    True

    True

    true

    true

    true

    True

    False

        

    Логический результат даёт также стандартная функция odd(x), которая применяется к целочисленному аргументу х:

    odd(x) = true, если х нечётно;

    odd(x) = false, если х чётно.

    Приоритет операций в сложном выражении (содержащем в себе все виды операций, изученных нами) следующий:

    1) Операция not.

    2) Операции группы умножения and, *, /, div, mod

    3) Операции группы сложения or, xor, +, -

    4) Операции сравнения >, <, >=, <=, =, <>

         Операции одного приоритета выполняются слева направо. Операции в круглых скобках имеют более высокий приоритет, чем операции вне скобок.

         Рассмотрим несколько примеров на построение логических выражений. Пусть нам требуется записать логическое выражение по синтаксису языка программирования, имеющее значение true, в случае выполнения указанного условия.

    Пример 1

    Целое число n делится на 13.

    Решение

    n mod 13 = 0

    Надо проверять, что остаток от деления на 13 является нулём. 

    Пример 2

    Целое число n делится на 13 и 7.

    Решение

    (n mod 13 = 0) and (n mod 7 = 0)

    Здесь надо проверить одновременное выполнение двух условий.

    Пример 3

    Переменная x имеет значение из отрезков [2,5] или [-1,1].

    Решение

    (x>=2) and (x<=5) or (abs(x)<=1)

    Пример 4

    Из чисел x,y,z хотя бы два равны между собой.

    Решение

    (x = y) or (x = z) or (y = z)

    Пример 5

    Числа x,y,z равны между собой.

    Решение

    (x = y) and (x = z)

    Обратите внимание, что согласно таблице приоритетов, операции сравнения имеют самый низкий приоритет. Однако, как правило, в сложных выражениях  нужно сначала выполнить сравнения, а потом группировать  их результаты при помощи логических операций. Поэтому не нужно забывать брать операции сравнения в скобки, чтобы не получить неправильный порядок действий.

  • §4. Построение графиков функций

    График квадратичной функции  `y=ax^2+bx+c` (где `a!=0`) - парабола. Абсцисса вершины этой параболы задаётся формулой `x_B=-b/(2a)`. Если `a>0`, то ветви параболы направлены вверх, если `a<0` - вниз.

    Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек - корни квадратного уравнения `ax^2+bx+c=0`); если дискриминант меньше нуля - то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки; если равен нулю - парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен имеет вид `a(x-x_0)^2`.

    Пример 8

    Постройте график функции `y=-2x^2+8x-5`.

    Решение

    Выделим полный квадрат:

    `y=-2x^2+8x-5=-2(x^2-4x)-5=`

    `=-2(x^2-4x+4-4)-5=-2(x-2)^2+8-5=` 

    `=-2(x-2)^2+3`.

    График функции `y=-2(x-2)^2+3` - парабола, полученная из параболы `y=2x^2` с помощью симметрии относительно оси абсцисс, затем параллельного переноса на `2` единицы вправо вдоль оси абсцисс и, наконец, параллельного переноса на `3` единицы вверх вдоль оси ординат (см. рис. 10).

    При помощи построения графика квадратичной функции можно решать квадратные неравенства.

    Пример 9

    Решите неравенство:

    Решение

    а) График квадратного трёхчлена `y=x^2-x-2` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), абсциссы точек пересечения с осью `Ox:` `x_1=-1`, `x_2=2`  (корни квадратного уравнения `x^2-x-2=0`). Все точки оси абсцисс, для которых парабола находится выше этой оси (т. е. решения данного неравенства), расположены вне промежутка между корнями `x_1` и `x_2`. Значит, множество решений данного неравенства - объединение открытых лучей:

    `(-oo;-1)uu(2;+oo)`.

    Ответ

    `x in (-oo;-1)uu(2;+oo)`.

    б) `4x^2+4x+1<=0 iff (2x+1)^2<=0 iff 2x+1=0 iff x=-0,5`.

    Ответ

    `x=-0,5`.

    в) График квадратного трёхчлена `y=3x^2-2x+1` - парабола, её ветви направлены вверх (коэффициент при `x^2` положителен), она не пересекает ось абсцисс, т. к. уравнение `3x^2-2x+1=0` не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому все точки параболы расположены выше оси `Ox`. Следовательно, данное неравенство истинно для всех `x`


    Ответ

    `x in RR`.

    Заметим, что эти неравенства могли быть решены также  с помощью метода интервалов, изложенного выше (см. §2).

    Пример 10

    Парабола `y=2016x^2-1941x-76` - пересекает ось абсцисс в точках `x_1` и `x_2`. Определите, где на этой прямой расположены точки `1`; `–1`; `–5` (т. е. вне промежутка между `x_1` и `x_2` или внутри него?).

    Решение

    Так как  `a>0` и `c<0`, то `D>0` и данное уравнение имеет корни.

    График функции `f(x)=2016x^2-1941x-76` - это парабола, ветви которой направлены вверх. Видно, что точка лежит в промежутке между корнями тогда и только тогда, когда `f(x)<0` и вне этого промежутка, если `f(x)>0` (см. рис. 11).

    `f(1)=-1<0=>1 in (x_1;x_2)`;

    `f(-1)=2016+1941-76>0=>1!in (x_1;x_2)`;

    `f(-5)=2016*25+1941*5-76>0=>5!in (x_1;x_2)`.

    Пример 11

    Определите знаки коэффициентов квадратного трёхчлена `y=ax^2+bx+c`, график которого изображён на рис. 12.

    Решение

    1) Заметим, что `y(0)=c`, откуда `c>0`.

    2) Ветви параболы направлены вниз `=>a<0`.

    3) Ось симметрии параболы - это прямая `x_B=-b/(2a)`, по рисунку видно, что `-b/(2a)>0`, откуда `b>0`.                  

    Ответ

    `a<0`, `b>0`, `c>0`.

    Пример 12

    Найти все значения `l`, при которых неравенство 

    `lx^2-2(l-6)x+3(l-2)<0`

    верно для всех значений `x`.

    Решение

    Коэффициент при `x^2` зависит от `l` и равен `0` при `l= 0`. В этом случае данное неравенство не квадратное, а линейное: `12x-6<0`. Это неравенство неверно, например, при `x=1`, значит, при `l=0` данное неравенство не является верным для всех значений `x`.

    Рассмотрим значения `l!=0`. Для них данное неравенство квадратное. Видно, что все числа являются его решениями только в одном случае: во-первых, если  старший коэффициент отрицателен, (т. е. ветви параболы направлены вниз), и во-вторых, если дискриминант отрицателен, (т. е. парабола не пересекает ось абсцисс).

    Получаем систему неравенств

    l<0,D4=l-62-3ll-2<0l<0,-2l2-6l+36<0\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\frac D4=\left(l-6\right)^2-3l\left(l-2\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\-2l^2-6l+36<0\end{array}\right.\Leftrightarrow

    l<0,-2l+6l+6<0l<0,l-;-63;+l<-6.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\\left(-2l+6\right)\left(l+6\right)<0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}l<0,\\l\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow l<-6.

    Ответ
    `l< -6`.


    Перейдём к графикам, содержащим знак модуля.

    Пример 13

    Постройте график функции: 

    а) `y=|x+3|`;

    б) `y=4-|x|`;

    в) `y=|4-2x|-1`;

    г) `y=2|x+4|+|x-3|+2x-3|x+1|`;

    д) `y=|||x|-3|-1|`.

    Решение

    а) Рассмотрим графики функций `f(x)=|x|`  и  `g(x)=|x+3|`. Заметим, что при  подстановке значения `x_0` в функцию `f(x)` и значения `(x_0-3)` в функцию `g(x)` получается одно и то же число.  Это означает, что если графику функции `y=f(x)`  принадлежит точка с координатами `A(x_0;|x_0|)`, то графику функции `y=g(x)` принадлежит точка `B(x_0-3;|x_0|)`,  расположенная на `3` единицы слева от точки `A`.      

    Таким образом, график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `3` единицы влево (рис. 13).                 

    б) Рассмотрим   функции  `f(x)=-|x|` и `g(x)=4-|x|`. При любом `x` значение  функции `g(x)` на `4` больше, чем значение функции `f(x)`, а это означает, что график функции `g(x)` получается из графика функции `f(x)` сдвигом на `4` единицы вверх  (рис. 14).

    в)  `y=|4-2x|-1=|2x-4|-1=2|x-2|-1`.              

    Построим сначала график функции `y=|x|` (рис. 15а).

    График функции `y=2|x|` получается   из  него  «растяжением» в два раза  (рис. 15б); график  `y=2|x-2|` получается  из  предыдущего сдвигом на `2` единицы вправо   (рис. 15в);

      график `y=2|x-2|-1` получается из  последнего сдвигом на единицу вниз (рис. 15г).       

    вывод

    График функции `y=af(x-b)+c` получается из графика функции `y=f(x)` следующим образом.                        

    1) Проводится «растяжение» в `|a|` раз; при этом если `a<0`, то график функции отражается  относительно   оси   абсцисс.                                                             

    2) График сдвигается на `|b|` влево (если `b<0`) или на `|b|` вправо (`b>0`).                     

    3) График сдвигается на `|c|` вверх  при `c>0` и на `|c|` вниз при `c<0`.                                       

    г) Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль (рис. 16а). Эти три точки делят числовую прямую на четыре части, причём  на  каждой  из  частей  знаки выражений,  стоящих под модулями, не меняются.                     

    Возможны 4 случая.

    1) `ul(x<=-4)`.  Тогда  `x+4<=0`, `x-3<0`, `x+1<0`, поэтому

    `y=2*(-x-4)-(x-3)+2x+3(x+1)=2x-2`.

    Получаем луч (часть прямой `y=2x-2`, лежащую слева от прямой `x=-4`).

    2)  `ul(-4<x<=-1)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<0`, `x+1<=0`, поэтому   

    `y=2(x+4)-(x-3)+2x+3(x+1)=6x+14`.                        

    Получаем отрезок (часть прямой `y=6x+14`, лежащая между прямыми  `x=-4` и `x=-1`).

    3)  `ul(-1<x<=3)`. Тогда `x+4>0`, `x-3<=0`, `x+1>0`, поэтому

    `y=2(x+4)-(x-3)+2x-3(x+1)=8`. 

    Получаем отрезок (часть прямой `y=8`, заключённая между прямыми `x=-1` и `x=3`).

    4) `ul(x>3)`.  Тогда `x+4>0`, `x-3>0`, `x+1>0`, поэтому

    `y=2(x+4)+(x-3)+2x-3(x+1)=2x+2`.                                        

         Получаем луч (часть прямой `y=2x+2`, находящуюся справа от прямой  `x=3`). График см. на рис. 16б.

    Укажем второй способ построения. На каждом из четырёх участков `(-oo;-4]`, `[-4;-1]`, `[-1;3]`, `[3;+oo)` после раскрытия модулей получим линейную функцию, графиком которой является прямая. Чтобы построить прямую, достаточно знать две её точки. Отсюда вытекает следующий способ построения. Вычислим значения   функции   в  точках `x=-4`, `x=-1` и `x=3`, а также в каких-либо точках, лежащих на промежутках `(-oo;-4)` и `(3;+oo)`, например, `x=-5` и `x=4`. Получаем пять точек, принадлежащих графику:

    `A(-4;-10)`, `B(-1;8)`, `C(3;8)`, `D(-5;-12)`, `E(4;10)`.

    Проводим отрезки `AB` и `BC`, лучи `AD` и `CE` и получаем график.                                      

    д) Построим сначала график функции `f_1(x)=|x|-3` (рис. 17а).       

     

    График `f_2(x)=||x|-3|` получается из графика функции `f_1(x)` так: точки, лежащие выше оси `Ox` и на оси `Ox` сохраняются, а  все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` в  верхнюю полуплоскость (рис. 17б). Действительно, если `f_1(x)>=0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=f_1(x)`, а если `f_1(x)<0`, то `f_2(x)=|f_1(x)|=-f_1(x)`. Таким  образом, если при некотором `x` оказалось, что `f_1(x)>=0`, то точки на графике  для `f_1(x)` и `f_2(x)` совпадают.  Если же `f_1(x)<0`, то для `y=f_2(x)` абсцисса точки не поменяется, а ордината сменит знак.  График  функции `f_3(x)=||x|-3|-1` получается из графика функции `f_2(x)` сдвигом на единицу вниз (рис. 17в).

           
    График  функции `f_4(x)=|||x|-3|-1|` получается из `f_3(x)` отражением всех  точек,  лежащих  ниже оси `Ox`, относительно оси `Ox` наверх (рис. 17 г).

    вывод

    График функции `y=|f(x)|` получается  из  графика  функции `y=f(x)` следующим образом. Все точки, лежащие  выше оси `Ox` и на оси `Ox`, сохраняются, а все точки, лежащие ниже оси `Ox`, отражаются относительно оси `Ox` и попадают  в  верхнюю  полуплоскость.                           

    Пример14

    Постройте график функции:

    а) `y=x^2-4x+3`,

    б) `y=|x^2-4x+3|`,

    в) `y=x^2-4|x|+3`,

    г) `y=|x^2-4|x|+3|`.

    Решение

    а) `x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1`.

    График функции `y=x^2-4x+3` получается из графика функции `y=x^2` сдвигом на `2` вправо и на `1` вниз (рис. 18а).

     

    б) Отразим все точки графика пункта а), лежащие ниже  оси  абсцисс,  относительно  этой  оси  (рис. 18б).      

    в) Заметим, что функция `f(x)=x^2-4|x|+3` чётная (т. е. удовлетворяет условию `f(-x)=f(x)`),  поэтому  её график симметричен относительно оси ординат. Кроме того, при `x>=0` этот  график совпадает с графиком функции `f(x)=x^2-4x+3`.

    Отсюда вытекает следующий способ построения. От графика функции `y=x^2-4x+3` оставим точки, лежащие справа от оси `Oy`, отразим их симметрично относительно  этой оси,  а точки, лежащие слева от оси `Oy`, отбросим (рис. 18в).    

    вывод

    График функции `y=f(|x|)` получается  из  графика  функции `y=f(x)` следующим образом.  Отбрасываем  все точки, лежащие слева от оси `Oy`, а оставшиеся точки отражаем относительно оси `Oy`.

    г) Есть 2 способа построения.                    

    (1) Все точки графика из пункта (в), лежащие ниже оси абсцисс, отражаем относительно этой оси.                   

    (2) От графика пункта (б) отбрасываем точки, лежащие слева от оси ординат; все точки, находящиеся справа от оси ординат, отражаем относительно неё. Разумеется, в обоих случаях получается одинаковый результат (рис. 18г).

    Теперь рассмотрим график функции `y=(ax+b)/(cx+d)`; при этом считаем, что 1) `c!=0` - т. к. иначе получится линейная функция – и 2) коэффициенты в числителе и в знаменателе не пропорциональны друг другу, т. е.  `ad!=bc`. (Если `ad=bc`, то `b=(ad)/c` и получаем `(ax+b)/(cx+d)=(ax+(ad)/c)/(cx+d)=(a/c(cx+d))/(cx+d)=a/c` при `cx+d!=0`). 

    Покажем на примере, как этот график может быть построен.

    Пример 15

    Постройте график функции:

    а) `y=6/(2x+3)`;

    б) `y=(6-3x)/(2x+1)`.

    Решение

    а) `y=3/(x+3//2)`. Это график получается из гиперболы `y=3/x` параллельным переносом на `3/2` влево (см. рис. 19). Асимптотами этой гиперболы являются прямые `x=-3/2` и `y=0`. (У каждой гиперболы есть две асимптоты. Горизонтальная асимптота `y=bbb"const"` - это та прямая, к которой график приближается при `x`, стремящемся к бесконечности. Вертикальная асимптота `x=bbb"const"` возникает при том значении `x`, где знаменатель дроби обращается в ноль. При `x`, приближающемся к данной точке, функция стремится к бесконечности).

    б) Отношение коэффициентов при `x` в числителе и знаменателе дроби равно `(-3/2)`.

    Преобразуем данную дробь, добавляя и вычитая `(-3/2)`:

    `y=-3/2+((6-3x)/(2x+1)+3/2)`.

    Дроби в скобках приводим к общему знаменателю:

    `y=-3/2+(12-6x+6x+3)/(2(2x+1)) iff y=-3/2+15/(4x+2) iff`

    `iff y=-3/2+(15//4)/(x+1//2)`.

    Этот график получается из графика `y=(15//4)/x` параллельным переносом на `3/2` вниз и на `1/2` влево (рис. 20).



  • §3. Неравенства с модулем

    Простейшие неравенства решаются с помощью свойств модуля. 

    Пример 5

    Решите неравенство:  

    а) `|x-2|>=-1`;  

    б) `|x-4|<-2`;

    в) `|1-x|<=4`;  

    г) `|3+x|>5`. 

    Решение

    а) `|x-2|>=-1` - верно для всех `x`.

    Ответ
    `x` - любое число.


    б)  Решений нет, т. к. `|x-4|>=0` для всех `x`.   

    Ответ
    нет решений.


    в) Воспользуемся    снова    свойством   1010^\bigcirc (см. § 1). Тогда условие звучит так: расстояние от точки `x` до точки `1` не превосходит `4`. То есть, мы ищем все точки прямой, удалённые от точки `1` на расстояние, не большее `4` (см. рис. 7).

    Запишем решение так:

    `|1-x|<=4 iff -4<=1-x<=4 iff -3<=x<=5`.


    Ответ
    `x in [-3;5]`.


    г) `|x+3|=|x-(-3)|`. Поэтому `|x+3|` - это расстояние между точками  и (–3). Ищем все точки на прямой, удалённые от точки (–3) на расстояние, большее 5 (см. рис. 8).

    Запишем решение:

    3+x>53+x>5,3+x<-5x>2,x<-8.\left|3+x\right|>5\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3+x>5,\\3+x<-5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>2,\\x<-8.\end{array}\right.

    Ответ

    `x in (-oo;-8)uu(2;oo)`.

    При решении неравенств, содержащих знак модуля, часто бывают полезны следующие равносильные переходы.

    1212^\bigcirc. `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`.

    1313^\bigcircfx>gxfx>gx,fx<-gx.\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right),\\f\left(x\right)<-g\left(x\right).\end{array}\right.


    1414^\bigcirc.  fx<gxfx<gx,fx>-gx.\left|f\left(x\right)\right|< g\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right),\\f\left(x\right)>-g\left(x\right).\end{array}\right.

     

    Докажем некоторые из них.

    Доказательство

    1212^\bigcirc. Если обе части неравенства неотрицательны, то его можно возвести в квадрат. Таким образом, `|f(x)|>|g(x)| iff f^2(x)>g^2(x)`. Докажем в обратную сторону:

    `f^2(x)>g^2(x) iff |f(x)|^2-|g(x)|^2>0 iff`

    `iff (|f(x)|-|g(x)|)*(|f(x)|+(g(x)|)>0`. 

    Последнее условие означает, что числа `|f(x)|+|g(x)|` и `|f(x)|-|g(x)|` имеют один знак; `|f(x)|+|g(x)|` не может быть отрицательным, поэтому оба числа должны быть положительны `=> |f(x)|-|g(x)|>0=> |f(x)|>|g(x)|`. Утверждение доказано.


    Доказательство

    1414^\bigcirc. Рассмотрим 2 случая.  

    (1)  `g(x)<=0`. Тогда неравенство `|f(x)|<g(x)` не имеет решений;

    не имеет решений и система, так как fx<gx0,fx>-gx0,\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)< g\left(x\right)\leq0,\\f\left(x\right)>-g\left(x\right)\geq0,\end{array}\right. откуда следует, что `f(x)>0` и `f(x)<0`, что невозможно. Значит, если `g(x)<=0`, система и неравенство равносильны.

    (2). `g(x)>0`. Тогда наше утверждение сводится к простейшему неравенству с модулем: `|t|<a iff -a<t<a`.

    Аналогично, `|f(x)|<g(x) iff -g(x)<f(x)<g(x)`.

    Пример 6

    Решите неравенство:

    а) `|2x^2-3x+1|<=3x-2x^2-1`;

    б) `|3x-7|>=|1-4x|`;

    в) `||x^2-8x+2|-x^2|>=2x+2`.

    Решение

    а) `|2x^2-3x-1|<=3x-2x^2-1 iff`

    `iff |2x^2-3x+1|<=-(2x^2-3x+1) iff^**` 

    `iff 2x^2-3x+1<=0 iff (2x-1)(x-1)<=0 iff`

    `iff 1/2 <=x<=1`.

                                              
    `**` (т. к. `|a|<=-a iff a<=0`).
    Ответ

    `[1/2;1]`.


    б) 3x-71-4x123x-721-4x2\left|3x-7\right|\geq\left|1-4x\right|\overset{12^\bigcirc}\Leftrightarrow\left(3x-7\right)^2\geq\left(1-4x\right)^2\Leftrightarrow

    `iff (3-7)^2-(1-4x)^2>=0 iff`

    `iff (3x-7-1+4x)(3x-7+1-4x)>=0 iff`

    `iff (7x-8)(-6-x)>=0 iff -6<=x<=8/7`.

    Ответ

    `[-6;8/7]`.


    в) x2-8x+2-x22x+213x2-8x+2-x22x+2x2-8x+2-x2-2x-2\left|\left|x^{2}-8x+2\right|-x^2\right|\geq2x+2\overset{13^\bigcirc}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left|x^2-8x+2\right|-x^2\geq2x+2\\\left|x^2-8x+2\right|-x^2\leq-2x-2\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x2-8x+2x2+2x+2,x2-8x+2x2-2x-213,14\left[\begin{array}{l}\left|x^2-8x+2\right|\geq x^2+2x+2,\\\left|x^2-8x+2\right|\leq x^2-2x-2\end{array}\right.\overset{13^\bigcirc,14^\bigcirc}\Leftrightarrow

    13,14x2-8x+2x2+2x+2,x2-8x+2-x2-2x-2,x2-8x+2-x2-2x-2,x2-8x+2-x2+2x+2\overset{13^\bigcirc,14^\bigcirc}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x^2-8x+2\geq x^2+2x+2,\\x^2-8x+2\leq-x^2-2x-2,\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x^2-8x+2\leq-x^2-2x-2,\\x^2-8x+2\geq-x^2+2x+2\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow

    x0,x2-3x+20,6x4,x2-5x0x0,1x2x23,x5,x0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\leq0,\\x^2-3x+2\leq0,\\\left\{\begin{array}{l}6x\geq4,\\x^2-5x\geq0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq0,\\1\leq x\leq2\\\left\{\begin{array}{l}x\geq\frac23,\\\left[\begin{array}{l}x\geq5,\\x\leq0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrowx0,1x2,x5.\left[\begin{array}{l}x\leq0,\\1\leq x\leq2,\\x\geq5.\end{array}\right.


    Ответ

    `x in (-oo;0]uu[1;2]uu[5;+oo)`.


    В некоторых случаях применение выше рассмотренных свойств нецелесообразно, и проще раскрыть модули по определению (рассмотрев знаки выражений под модулями).


    Пример 7

    Решите неравенство `6|x^2-3x-4|+1>5|x+5|`.

    Решение

    Решение проводится по той же схеме, что и в  примере 2. Отмечаем на числовой прямой точки `x=4`, `x=-1` и `x=-5`, в которых подмодульные выражения равны нулю.

    а) `x<=-5`. Здесь  `x^2-3x-4>0`, `x+5<=0`, поэтому получаем   

    `6x^2-18x-24+1> -5x-25 iff 6x^2-13x+2>0 iff`

    `iff (x-2)(6x-1)>0 iff x in (-oo;1/6)uu(2;+oo)`.

    С учётом ограничения `x<= -5 : x in (-oo;-5]`.

    б) `x in (-5;-1]uu(4;+oo)`. На этих двух промежутках  `x^2-3x-4>=0`, `x+5>0`, поэтому получаем `6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-23x-48>0 iff`

    `iff (3x-16)(2x+3)>0 iff x in (-oo;-3/2)uu(16/3;+oo)`.

    Учитывая рассматриваемые значения переменной, получаем  

    `x in (-5;-3/2)uu(16/3;+oo)`.

    в) `x in (-1;4]`. Тогда `x^2-3x-4<=0`, `x+5>0`  и неравенство принимает вид 

    `-6(x^2-3x-4)+1>5(x+5) iff 6x^2-13x<0 iff`

    `iff 6x(x-13/6)<0 iff 0<x<13/6`.

    Объединяя результаты, получаем

    `x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.

    Ответ

    `x in (-oo;-3/2)uu(0;13/6)uu(16/3;+oo)`.

  • § 1. Заряд. Напряжённость электрического поля

    Многочисленные опытные факты подтверждают, что большой круг явлений природы можно описать, введя понятия электрического заряда и электрического поля. Единицу электрического заряда можно ввести разными путями в зависимости от выбора системы единиц. Сейчас нет возможности на этом останавливаться, поэтому будем считать, что уже есть принципиальный способ измерять заряд количественно. Пойдём дальше.
    При всех взаимодействиях в макромире и микромире выполняется закон
    сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма зарядов системы
    сохраняется, если через границы системы не проходят электрические заряды.  Следует ещё раз отметить, что закон сохранения заряда справедлив не только
    при взаимодействии макроскопических тел, но и при взаимодействии элементарных частиц, когда в результате ядерных реакций одни частицы исчезают, а
    другие появляются.
    Важным понятием является точечный заряд, то есть заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с другими характерными расстояниями, например – расстоянием до других зарядов (заряженных тел).
    Опыт показывает, что характеристикой электрического поля в каждой его точке является векторная величина E\overrightarrow E, называемая напряжённостью электрического поля и определяемая из равенства:

    E=Fq\overrightarrow E=\frac{\overrightarrow F}q

    Здесь F\overrightarrow F- сила, действующая на неподвижный точечный заряд, помещённый в исследуемую точку поля. При этом знак заряда q любой, а сам заряд называется пробным, т. к. им «пробуют» поле. Напряжённость поля от величины пробного заряда не зависит, как не зависит температура воды в озере от вида термометра, которым её измеряют. Следует, однако, заметить, что для измерения напряжённости поля, которое было до (а не после) внесения пробного заряда, следует брать заряд q настолько малым, чтобы он не вызывал заметного перераспределения зарядов, создающих поле, и не вызывал существенных изменений в других возможных источниках электрического поля.  Источниками электрического поля являются электрические заряд и изменяющееся магнитное поле. И ещё одно замечание по записанному выше равенству для E\overrightarrow E. Точечный заряд q создаёт вокруг себя собственное электрическое поле, но это поле никак не входит в равенство для определения напряжённости E\overrightarrow E, поскольку E\overrightarrow E есть напряжённость внешнего поля, т. е. поля, созданного всеми зарядами (или другими источниками), кроме заряда q. Заряд q служит лишь инструментом для измерения напряжённости этого внешнего поля. И это принципиально. 

     Частным случаем электрического поля является электростатическое поле, т. е. поле, созданное неподвижными зарядами. 

     Из опыта известно, что для электрического поля справедлив принцип суперпозиции: в каждой точке напряжённость E\overrightarrow E электрического поля равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных в этой точке всеми источниками электрических полей:

    E=E1+E2+...=iEi .\overrightarrow E=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}+...=\sum_i\overrightarrow{E_i}\;. 

  • §2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
    • Напомним, что дробь называют рациональной, если она представляет собой отношение многочленов (например, `(2x-1)/(x^2+3)`, `(5x^3)/(1-x)` и т. д.). Если обе части неравенства являются суммами рациональных дробей и многочленов, то такие неравенства называют рациональными. Для их решения применяют следующий алгоритм: все члены переносят в одну сторону, приводят их к общему знаменателю, а далее у полученной дроби числитель и знаменатель раскладывают на множители. После этого на числовой прямой отмечают точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, а затем на полученных промежутках расставляют знаки, которые принимает дробь - далее остаётся записать ответ.

    Покажем, как работает метод интервалов на нескольких примерах.

    Пример 3

    Решите неравенства:

    а) `((x^2+5x+6)(x-4))/(x^2-x)>=0`; 

    б) `(x-3)^2(x-4)^3(x-5)(x-6)^4<=0`;

    в) `1/x<1/3`;

    г) `((x^2-x-2)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(2x^2-x-6))<=0`;

    д) `3/(x^3-3x^2+4)-10/(x^3-7x^2+4x+12)>1/(x^2-5x-6)`.

    Решение

    а) Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, получаем

    `((x+2)(x+3)(x+4))/(x(x-1))>=0`.                                   (1)

    Точки, в которых числитель обращается в ноль (нули числителя), обозначаем на числовой прямой маленькими закрашенными кружочками – они будут включены в ответ, так как в них неравенство выполняется. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль (нули знаменателя), обозначаем на числовой прямой маленькими пустыми кружочками (такие точки называются выколотыми) – они не будут включены в ответ, так как в них левая часть не определена.

     

    Отмеченные точки делят числовую прямую на шесть промежутков, на каждом из которых знак левой части неравенства (1) постоянен. Чтобы определить знаки, сначала определим знак левой части (1) на крайнем правом промежутке `(4; +oo)`. Для этого можно подставить какое-либо значение переменной `x` из этого промежутка в (1), например, `x=1000`. Несложно видеть, что при этом каждый из множителей в числителе и знаменателе положителен, поэтому дробь больше нуля, и на промежутке `(4; +oo)` можем поставить знак «`+`».

    Теперь переместимся в соседний промежуток `(1; 4)`. Заметим, что при переходе через точку `x=4` только один из множителей в (1) меняет знак (это `(x-4)`), а все остальные знаки остаются неизменными, поэтому дробь меняет знак, и на промежутке `(1; 4)` ставим знак «`-`». При переходе к каждому следующему промежутку ровно один множитель в числителе или знаменателе (1) меняет знак, поэтому меняет знак и вся дробь, то есть знаки чередуются. Получаем такую расстановку знаков:

     

    Ответ

    `x in [-3; -2]uu(0; 1)uu[4; +oo)`.

    б) Здесь левая часть уже разложена на множители, и нам остаётся лишь расставить знаки. Для этого отмечаем на числовой прямой точки `x=3`, `x=4`, `x=5`, `x=6` (все они невыколотые и являются решениями неравенства) и приступаем к расстановке знаков. Принципиальное отличие этого примера от предыдущего в том, что некоторые из множителей возводятся в степень. На что это влияет? Если показатель степени чётный, то соответствующий множитель не меняет знак при переходе через ту точку, в которой он обращается в ноль (например, `(x-3)^2>=0` при любых `x`, поэтому с обеих сторон от точки `x=3` выражение `(x-3)^2` положительно). Если показатель степени нечётный, то множитель меняет знак при переходе через ту точку, в которой он равен нулю. В итоге получаем следующую расстановку знаков:

     

    Не забываем также включить в ответ все точки, отмеченные на прямой жирными кружочками.

      

    Ответ

    `x in {3}uu[4;5]uu{6}`.

    в) Переносим `1/3` влево и приводим дроби к общему знаменателю: `(3-x)/(3x)<0`. Расставляем знаки левой части на числовой прямой (для строгого неравенства все точки на прямой выколотые, так как нули числителя решениями неравенства не являются).

    Ответ

     `x in (-oo; 0)uu(3;+oo)`. 

    замечание

    При решении этой задачи часто допускают следующие ошибки.

    1) Умножают обе части неравенства на `x`. Этого делать нельзя, так как если мы умножаем обе части неравенства на отрицательное число, то знак неравенства надо поменять, если на положительное, то знак надо оставить таким, какой он и был. Поскольку знак `x` нам неизвестен, то мы не можем корректно выбрать знак нового неравенства.

    2) В исходном неравенстве требуется сравнить две дроби с одинаковыми числителями. Значит больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так рассуждать нельзя, поскольку это свойство справедливо лишь для тех дробей, у которых числитель и знаменатель положительны. Если  же числа могут быть  отрицательными, то это свойство неверно (например, `-3<3` и `1/(-3)<1/3`).   

    г) Находим нули числителя и знаменателя. Получаем:

    1. `x^2-x-2=0 iff x=2` или `x=-1` (поэтому

    `x^2-x-2=(x-2)(x+1)`); 

    2. `2x-3-x^2-x^2=0 iff O/` (т. к. дискриминант отрицателен). Следовательно, выражение `-x^2+2x-3` отрицательно при всех `x` (графиком функции `f(x)=-x^2+2x-3` является парабола с ветвями вниз, при этом она не пересекает ось абсцисс, так как у уравнения `f(x)=0` нет корней; значит, эта парабола целиком расположена ниже оси абсцисс, то есть  `f(x)<0` при всех `x`).    

    3. `x^2+4x+5=0 iff O/`, поэтому `x^2+4x+5>0` при всех `x`.

    4. `2x^2-x-6=0 iff x=2` или `x=-3/2`. Значит, 

    `2x^2-x-6=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

    Исходное неравенство равносильно следующему

    `((x-2)(x+1)(2x-3-x^2))/((x^2+4x+5)(x-2)(2x+3))<=0`.

    Отбросив множители `(2x-3-x^2)` и `(x^2+4x+5)`, знаки которых не зависят от `x` получаем

    x-2x+1x-22x+30x+12x+30,x2.\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(2x+3\right)}\geq0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+1}{2x+3}\geq0,\\x\neq2.\end{array}\right.

    Решая первое неравенство системы методом интервалов, получаем

    С учётом второго неравенства `x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.

    Ответ

    `x in (-oo; -3/2)uu[-1; 2)uu(2; +oo)`.

    д) Прежде всего,  необходимо привести дроби к общему знаменателю. Чтобы сделать это, раскладываем знаменатели дробей на множители.

    Заметим, что `x=-1` является корнем каждого из знаменателей в левой части неравенства. Выполняя деление на `(x+1)`,  получаем следующие разложения на множители:

    `x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2`;

    `x^3-7x^2+4x+12=(x+1)(x^2-8x+12)=(x+1)(x-2)(x-6)`;

    `x^2-5x-6=(x+1)(x-6)`. 

    Преобразуем исходное неравенство:

    `3/((x+1)(x-2)^2)-10/((x+1)(x-2)(x-6))>1/((x+1)(x-6)) iff`

    `iff (3(x-6)-10(x-2)-(x-2)^2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

    `iff (-x^2-3x-2)/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

    `iff (-(x+1)(x+2))/((x+1)(x-2)^2(x-6))>0 iff`

    x+2x-22x-6<0,x-1x+2x-6<0,x-1, x2.\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)^2\left(x-6\right)}<0,\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x+2}{x-6}<0,\\x\neq-1,\;x\neq2.\end{array}\right.

    Решая первое неравенство системы методом интервалов, находим, что `x in (-2; 6)`. Исключая точки `x=-1` и `x=2`, получаем `x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.

    Ответ

    `x in (-2;-1)uu(-1;2)uu(2;6)`.

    Заметим, что знаки следующих выражений совпадают:

                                                        `|a|-|b|` и `a^2-b^2`,

                                                         `a^(2n)-b^(2n)(n in NN)` и `a^2-b^2`,                                  (2)

                                                         `a^(2n+1)-b^(2n+1)(n in NN)` и `a-b`.

    Это свойство иногда оказывается полезным при решении неравенств. Когда мы решаем дробно-рациональное неравенство (возможно, содержащее знак модуля), мы приводим его к виду «дробь `>0`» (или «дробь `>=0`»), после чего числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители. Так как мы сравниваем дробь с нулём, то нас интересуют только знаки каждого из множителей в числителе и знаменателе. Следовательно, если мы некоторые из них заменим на выражения тех же самых знаков по формулам (2), то получим равносильное неравенство.

    Пример 4

    Решите неравенство  

    `((x^8-256)(|3x+4|-|2x-7|))/(243-x^5)>=0`.

    Решение

    Заменим множитель `x^8-256=x^8-2^8` на `x^2-x^2`; 

    множитель `|3x+4|-|2x-7|` на `(3x+4)^2-(2x-7)^2`; 

    множитель  `243-x^5=3^5-x^5` на `3-x`. Получаем

     `((x^2-2^2)((3x+4)^2-(2x-7)^2))/(3-x)>=0`.

    Каждую из скобок в числителе раскладываем на множители по формуле разности квадратов.

    `((x-2)(x+2)(3x+4+2x-7)(3x+4-2x+7))/(3-x)>=0 iff`

    `iff ((x-2)(x+2)(5x-3)(x+11))/(x-3)<=0 iff x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.

    ответ

    `x in (-oo;-11]uu[-2;3/5]uu[2;3)`.


  • § 5. Задачи и вопросы для самостоятельного решения

    В контрольных вопросах и задачах проверяются Ваши знания основного курса и знакомство с материалом нашего задания.

    1. Контрольные вопросы и задачи могут быть не только по темам, повторенным в этом Задании (повторить весь учебник невозможно), но и по материалу, изученному Вами в школе. При ответе на некоторые вопросы придётся открыть учебник.

    2. Ответы на контрольные вопросы надо давать обоснованные. Приведём примеры.


    вопрос 1

    Точки `K` и `L` делят диагональ `AC` параллелограмма `ABCD` на три равные части: `AK=KL=LC` (рис. 33). Верно ли, что прямые `BK` и `LD` параллельны?

     

    ответ

    Да, верно. Докажем это.

    Доказательство

    а) Проведём диагональ  `BD`. По теореме диагонали параллелограмма пересекаются  и  точкой  пересечения  делятся пополам: `AO=OC` и `BO=OD`.

    б) Из  `AO = OC` и `AK=CL` следует `KO=OL`.

    в)  `Delta BOK = Delta DOL`, так как `KO=OL`, `BO=OD` и `/_BOK = /_ DOL`  (как вертикальные).

    Из равенства треугольников следует  `/_ 1 = /_ 2`. Накрест лежащие углы при секущей  `AC` равны, следовательно, BKLDBK\parallel LD.

    вопрос 2

    В четырёхугольнике `ABCD` стороны `AB` и `CD` равны друг другу, а стороны `AD` и `BC` параллельны. Является ли четырёхугольник `ABCD` параллелограммом?

    ответ

    Нет, например, четырёхугольник `ABCD` на рисунке 34 удовлетворяет этим условиям, но противоположные стороны `AB` и `CD` не параллельны (этот четырёхугольник - равнобокая трапеция). 

  • § 4. Задачи для досуга (этот пункт дополнительный)

    1. Как измерить с помощью одной мерной линейки, произведя одно измерение, диагональ кирпича (крпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рис. 24, его диагональ - это отрезок, соединяющий проивоположные вершины (например, `A` и `B`)). Дайте способ простой, практичный, пригодный для мастерской, стройки, без приминения вычислений по теореме Пифагора.

      

    2. Тяжёлая балка `AB` лежит на брёвнах (рис. 25), её правый конец отстоит от оси последнего бревна на `5` м (`BC=5` м). На сколько продвинется вперёд передняя часть балки (точка `A`), если точка `B` достигент оси последнего бравна? Считать брёвна одинаоковыми и круглыми; катятся брёвна без скольжения.

    3. Нетрудно показать, что у правильно пятиугольной звезды сумма углов равна `180^@`. Показать, что такая же сумма углов будет у произвольной пятиугольной звезды (рис. 26).

       

    4. Во времена частных междоусобных войн один правитель захотел построить крепость-замок из `10` башен, соединённых между собой стенами, причём стены должны тянуться прямыми линиями с четырьмя башнями в каждой из них. Приглашённый им известный строитель представил ему план крепости (см. рис. 27), но правитель нашёл его совершенно неудовлетворительным: при таком расположении к любой из десяти башен можно подойти извне. Правителю же хотелось, чтобы по крайней мере одна башня (а ещё лучше - две) была бы со всех сторон защищена стеной от вторжения извне. Долго строитель ломал голову над такой задачей, но решил её и с одной безопасной башней, и с двумя безопасными башнями.

    Попробуйте и вы найти решение.

    5. Можно ли покрыть костяшками домино (каждая костяшка – две клетки) доску `8` x `8` клеток с двумя вырезанными противоположными клетками (рис. 28)?

    6. Три одинаковых треугольника разрезали по медианам (рис. 29). Сложите из полученных  `6` кусков  один  треугольник.

    7. На рис. 30  изображена  фигура,  составленная из пяти квадратов. Требуется провести два разреза по прямым линиям так, чтобы из полученных частей можно было бы составить квадрат.

    8. Найти площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге (см. рис. 31), считать площадь каждой клетки равной `1`.

    9. На окружности расположено `2000` чёрных точек и одна белая точка. Рассматриваются всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины чёрные, или тех, у которых одна вершина белая?

    10. Можно ли, начав движение в какой-то точке контура обойти все его звенья, проходя по каждому ровно `1` раз, и вернуться в исходную точку? (контуры `1`-`6` на рис. 32)

    11. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый `n` - угольник?

  • § 3 Параллелограмм

    Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных определения:

    1) Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

    2) Четырёхугольник называется выпуклым, если его диагонали пересекаются.

    Равносильность доказывается на основе свойства полуплоскостей.

    Легко доказывается теорема, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна  `360^@` (повторите по учебнику). 

    Layer 1 A B C D  

                         Рис. 16

    Свойства параллелограмма

    1. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна `180^@`
    2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
    3. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
    4. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

    Признаки параллелограмма

    1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.
    2. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.
    3. Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.
    4. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
    Доказательство

    Докажем, например, признак 3.

    Пусть в четырёхугольнике `ABCD` стороны удовлетворяют условиям `AB=DC` и `BC=AD` (рис. 17). Отметим соответственно равные стороны и проведём диагональ  `AC`. `Delta ABC= Delta CDA` (`AB=CD`, `BC=AD`, `AC` - общая сторона). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: против `AB` - угол `1`, против `CD` - угол `2`, `/_ 1 = /_ 2` (накрест лежащие углы)  BCAD\Rightarrow BC\parallel AD.  Против  `BC` -  угол  `3`,  против `AD` -  угол    `4`, `/_ 3 = /_ 4 =>` ABCDAB\parallel CD.

    Противолежащие стороны попарно параллельны, значит  параллелограмм по определению.  

    Свойства параллелограмма используются для доказательства  замечательной теоремы о высотах треугольника.

    Теорема

    Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

    Доказательство

    Через каждую вершину треугольника `ABC` (рис. 18) проведём прямую, параллельную противолежащей вершине стороне.  Получаем треугольник `A_1 B_1 C_1`, к сторонам которого перпендикулярны высоты данного (например, если `AH _|_ BC`, то из BCB1C1BC\parallel B_1C_1, следует `AH_|_B_1 C_1`). 

    По построению ABCA1AB\parallel CA_1, ACBA1AC\parallel BA_1ABA1C\Rightarrow ABA_1C - параллелограмм. Также показывается, что `AC_1BC` - параллелограмм. По свойству параллелограмма `BA_1 = AC`, `C_1 B = AC => C_1 B = BA_1`, т. е. точка `B` - середина стороны `A_1 C_1`. Повторяя рассуждение, устанавливаем, что точка `A` - середина стороны `B_1 C_1` и точка `C` - середина стороны `A_1 B_1`. 

    Прямые, на которых лежат высоты `AH`, `BF` и `CK` треугольника `ABC`, перпендикулярны к сторонам треугольника `A_1 B_1 C_1` и проходят через их середины, а три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (определяют центр окружности, описанной около треугольника `A_1 B_1 C_1`). Значит три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

    Если треугольник остроугольный, то пересекаются сами высоты.

    Если в треугольнике  `ABC` углы `A` и `C` - острые (рис. 19), то вершина `B` лежит в полосе между двумя параллельными прямыми `l_1` и `l_2`, которые проходят через точки `A` и `C` и перпендикулярны `AC`. Отсюда следует, что основание `F` её высоты `BF` лежит на стороне `AC`. Если угол `B` - также острый (т. е. треугольник `ABC` - остроугольный), то основание `H` высоты `AH` тоже лежит на стороне `BC` (рассуждения те же самые). Точки `B` и `F` лежат в разных полуплоскостях, образованных прямой `AH`, значит отрезок `BF` пересекает прямую `AH`. Точка пересечения `O` лежит на `BF`,  т. е. лежит внутри треугольника, и, значит, на отрезке `AH`.  По теореме третья высота пройдёт через ту же точку `O`.  

                            

    Пример 7

    Биссектриса угла  `A` параллелограмма `ABCD` пересекает сторону  `CD` в точке `K`,  а продолжение стороны `BC` в точке `F` (рис. 20). Найти стороны параллелограмма, если  `BF = 16` и `CK =5`. 

     

    Решение

    `AF` - биссектриса угла  `BAD`, 1=2\underline{\angle1=\angle2}. Прямые `AD` и `BF` - параллельны,  поэтому  3=1\angle3=\angle1 (как  накрест  лежащие),  тогда  `/_2 = /_3`, треугольник `ABF` -равнобедренный, `AB=BF`. Значит `AB =16`. 

    По свойству параллелограмма `CD=AB`, значит `CD=16` и `DK=11`. Далее, из ABCDAB\parallel CD следует  `/_2 = /_4` (накрест лежащие), значит `/_4=/_1`, треугольник `ADK` - равнобедренный, `AD=DK=11`.

    Ответ

    `AD=BC=11`, `AB=CD=16`.

    Пример 8

    Дана окружность с диаметром `AB` и точка `M`, лежащая внутри окружности, но не на диаметре (рис. 20). С помощью односторонней линейки опустить из точки  `M` перпендикуляр на прямую  `AB`.

      – уменьшенная копия односторонней линейки).

    Решение

    Что мы можем делать с помощью односторонней линейки? Проводить прямые! Вот и проведём через точки `A` и `M` прямую до пересечения с окружностью в точке `A_1`, затем через точки `B` и `M` проведём прямую до пересечения с окружностью в точке `B_1` (рис. 21).

    Далее, проведём прямую через точки `A` и `B_1` и прямую через точки `B` и `A_1` - получим в их пересечении точку `C`. Прямая `CM` - искомая. В треугольнике `ACB` высоты `A A_1` и `B B_1`  (углы `A A_1 C` и `B B_1 C` - прямые, опираются на диаметр) пересекаются в точке `M`. Точка `M` - точка пересечение высот треугольника `ACB`, значит `C C_1 _|_ AB`.

    Если точка `M` лежит вне окружности и не на прямой `AB`, решение задачи усложняется, но немного (попробуйте сами).

    Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником.

    Верна теорема: диагонали прямоугольника равны.

    Верна и обратная теорема - признак  прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

     Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Сформулируйте сами две теоремы о диагоналях ромба и обратные к ним.

    Прямоугольник, у  которого все стороны равны, называется квадратом. Квадрат - правильный четырёхугольник.

    Пример 9

    Через середину диагонали `BD` прямоугольника `ABCD` проведена перпендикулярно этой диагонали прямая, пересекающая сторону `BC` в точке `F` и сторону `AD` в точке `E`. Известно, что `EF = ED = 8`.  Найти большую сторону прямоугольника.

    Решение

    Середина диагонали `BD` - точка `O`, - есть центр прямоугольника, `BO=OD` (рис. 22). Отрезок `EF` делится точкой `O` пополам, действительно, `Delta BOF = Delta DOF` (углы при точке `O` равны как вертикальные,  `/_DBF = /_BDE` (как накрест лежащие при параллельных прямых `BC` и `AD`) и `BO=OD`; треугольники равны по второму признаку равенства).

     Значит `FO=FO=1/2 EF=4` и `BF=ED=8`. 

    Треугольник `BOF` - прямоугольный, гипотенуза `BF=8`, катет `OF=4`, значит `/_OBF =30^@`.  

    Диагонали прямоугольника равны, равны и их половины,  `BO=OC`. Треугольник `BOC` - равнобедренный, `/_BCO=30^@`, `/_CFO=180^@ - /_OFB =180^@ - 60^@ = 120^@`,

    следовательно  `/_FOC = 30^@`. Треугольник `OFC` - равнобедренный, `FC=OF=4`, значит `BC=12`.  

    Ответ

    12.

    Пример 10

    Окружность, построенная как на диаметре, на стороне `AD` параллелограмма `ABCD` касается стороны `BC` и проходит через середину стороны `AB` (рис. 23). Найти углы параллелограмма. 

    Решение

    Пусть `O` - центр окружности и `R` - её радиус. Если `P` - точка касания стороны `BC`, то `OP_|_ BC`,  а из ADBCAD\parallel BC следует `OP_|_AD`. Это означает, что расстояние между параллельными прямыми `AD` и `BC` равно `R`. 

    Точка `M` лежит на окружности, `OM=R`. Точка `M` - середина стороны `AB`. Если `MF _|_ AD` и `MK _|_ BC`, то точки `K`, `M` и `F` лежат на одной прямой (т. к. ADBCAD\parallel BC) и поэтому `KF=PO=R`. Прямоугольные треугольники `AMF` и `BMK` равны (по гипотенузе и острому углу) и `MF=1/2 KF = 1/2 R`. 

    Из треугольника  `OMF`, в котором `MF_|_OF`, `OM=R` и `MF= R/2` следует, что /_MOF = 30^@`.  

    Далее заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный `(OA=OM=R)`,

    угол при вершине `O` равен `30^@`, следовательно `/_OAM = /_ AMO = 75^@`. 

    Итак, острый угол `A` параллелограмма равен `75^@`, а тупой угол `B` равен `105^@`.  

    Ответ

    `75^@` и `105^@`.



  • Основные понятия в химии

    Атомно-молекулярное учение

         В 18601860 году на Международном съезде естествоиспытателей в немецком городе Карлсруэ были приняты определения атома и молекулы. Учения о строении веществ тогда ещё не было, поэтому было принято положение о том, что все вещества состоят из молекул. Впоследствии такое сплошное распространение принципа молекулярного строения на все вещества оказалось ошибочным. Итак, согласно атомно-молекулярному учению, все вещества состоят из молекул, а молекулы — из атомов. Таким образом, мельчайшей частицей всех реально существующих веществ, является атом. Наименьшей же частицей вещества, сохраняющей его химических свойства, является молекула. В физических процессах молекулы сохраняются, в химических — разрушаются. Атомы же остаются неизменными и в физических, и в химических процессах, и могут быть разрушены только в ядерных реакциях.


    Масса атома. Атомная единица массы.

    Относительные атомная и молекулярная массы.

         Массы атомов чрезвычайно малы. Например, масса атома водорода составляет примерно 1,67*10-27кг1,67*10^{-27} кг, углерода – 1,99*10-261,99*10^{-26}, кислорода –2,66*10-26кг2,66*10^{-26} кг. Оперировать такими числами неудобно. Поэтому в химии пользуются не абсолютными значениями массы, а относительными, а в качестве эталона используют 112\frac1{12} часть массы атома изотопа углерода C12{}_{12}C. У студентов и учащихся часто возникает вопрос, почему именно это значение было выбрано в качестве эталона. Понятие атомной массы ввёл Дж. Дальтон в 18031803 году, единицей измерения атомной массы (атомной единицей массы — а .е. м.) сначала служила масса атома водорода, как самого легкого элемента (так называемая «водороднаяединица»).

         Однако при использовании такой шкалы возникали расчетные трудности. В результате в нaчaлe XXXX века за а. е. м. былa принята 116\frac1{16} часть массы атома изотопа кислорода C12{}_{16}O (так называемая«кислородная единица»). Но в состав кислорода входят изотопы C12{}_{17}O иC12{}_{18}O, что не позволяет выделить чистый образец изотопа C12{}_{16}O. В связи с этим кислород не может являться эталоном для определения а. е. м.. По международному соглашению с 19611961 г. в качестве атомной единицы
    массы (11 а. е. м.) принятa 112\frac1{12} чaсть массы изoтoпа углeрoдa C12{}_{12}C (этот изотоп в природной смеси преобладает – его 98,9%98,9%; остальные 1,1%1,1%приходятся на изотоп C12{}_{13}C).     Итак, атомная единица массы (11 а .е. м) — 112\frac1{12} часть массы атома изотопа углерода C12{}_{12}C — равна:

    ma(C):12=1,99*10-26кг:12=1,67*10-27кгm_a(C):12 = 1,99*10^{-26} кг :12 = 1,67*10^{-27} кг

         Относительная атомная масса показывает, во сколько раз масса атома какого-либо химического элемента больше а.е.м., поэтому данная величина не имеет размерности.      Относительная атомная масса элемента (ArA_r) — это отношение абсолютной массы атома химического элемента к а. е м. Значения относительных масс элементов приведены в периодической таблице Д.И. Менделеева. Относительная молекулярная масса (MrM_r) – это сумма относительных атомных масс всех атомов, входящих в её состав. Например, Mr(H2SO4)=2Ar(H)+Ar(S)+4Ar(O)=98M_r (H_2SO_4) = 2A_r(H) + A_r(S) + 4A_r(O) = 98


    Концепция моля

         До сих пор мы говорили об индивидуальных атомах и молекулах, а также об их массах, измеряемых в а.е.м., то есть относительных массах. Однако на практике нужное вещество взвешивается в граммах (или других единицах массы — кг, т), а не в а.е.м. Для того, чтобы перейти от молекулярной шкалы измерения масс к обычной, ввели единицу измерения количества вещества — моль. Моль — это порция вещества (количество вещества ν\nu), в которой содержится 6,02*10236,02*10^{23} структурных единиц вещества (молекул, атомов, ионов или др., в зависимости от того, чья порция берется). Число 6,02*10236,02*10^{23} называется постоянной Авогадро. Названа она в честь итальянского химика Амадео Авогадро. Она обозначается NAN_A и выражает отношение единиц, используемых для измерения масс объектов микро- и макромира.

         Если ArA_r любого элемента, выраженную в граммах, разделить на абсолютную массу его атома, также выраженную в граммах, то всегда получится одно и то же число — постоянная Авогадро. Например, произведем расчет этой постоянной на примере атома водорода: Ar(H)=1,m(H)=1,67*10-24гA_r (H) = 1, m (H) = 1,67*10^{-24} г  (или 11 а.е.м.), тогда

    NA=1г1а.е.м.=1г1,67·10-24г=6,02·1023N_A=\frac{1г}{1а.е.м.}=\frac{1г}{1,67\cdot10^{-24}г}=6,02\cdot10^{23}

         Масса такой порции любого вещества называется молярной массой (ММ ). Молярная масса  (ММ) численно равна относительной молекулярной массе данного вещества (MrM_r) выраженной в граммах. Например,Mr(C)=12M_r(C)=12, следовательно масса одного моль СС, то есть М(С)=12гмольМ(С) = 12 \frac{г}{моль}.Итак, один моль любого вещества содержит одно и то же числоструктурных единиц (атомов, молекул, ионов и пр.).

         В современной литературе принято следующее определение моля: Моль — это количество вещества (ν\nu), содержащее такое число структурных единиц, сколько их содержится в 0,012кг0,012 кг изотопа углерода C12{}_{12}C. Зная количество вещества, можно судить о числе частиц в определенной его порции и брать вещества для реакций в необходимых количествах. Иными словами, определять число атомов и молекул (структурных единиц) можно путем взвешивания порций веществ. Таким образом, масса вещества, его количество, число структурных единиц (атомов, молекул, ионов и пр.) и число Авогадро связаны между собой соотношением:

    ν=mM=NNA\nu=\frac mM=\frac N{N_A}

    где mm – масса вещества, г; ν\nu – количество вещества, моль; ММ – молярная масса, гмоль\frac{г}{моль}, NN – число структурных единиц,  NAN_A - число Авогадро. Отношение массы данного вида атомов к общей массе молекулы называется массовой долей данного элемента в соединении и обозначается ω\omegaМассовая доля элемента в соединении равна молярной массе элемента, умноженной на его индекс в химической формуле и деленной на молярную массу соединения. Например, массовая доля элемента АА в соединении AxByCzA_xB_yC_z равна:

    ω(A)=xM(A)M(AxByCz)\omega(A)=\frac{xM(A)}{M(A_xB_yC_z)}

         Отношение количества вещества данного элемента в соединении к сумме количеств веществ всех элементов называется мольной долейданного элемента в соединении и обозначается ХХ.Мольная доля элемента в соединении равна отношению его индекса в химической формуле к сумме индексов всех элементов в соединении. Например, мольная доля элемента АА в соединении AxByCzA_xB_yC_z равна:

    X(A)=xx+y+zX(A)=\frac x{x+y+z}

          Эти соотношения используются для различных расчётов. По массовым долям элементов в соединении можно определить только их молярное соотношение между собой, т. е. простейшую формулу вещества; для определения истинной формулы необходимо дополнительно знать молярную массу вещества.

    ПРИМЕР 1

     Условие: Определить количество вещества оксида алюминия и  количество вещества атомного кислорода в оксиде алюминия массой 71,4г.71,4 г..

    Решение: Формула оксида алюминия Al2O3Al_2O_3, молярная масса этого вещества  составляет: M(Al2O3)=102гмольM(Al_2O_3) = 102 \frac{г}{моль}. Используя вышеуказанное соотношение, находим количество вещества Al2O3Al_2O_3, которое содержится в 71,4г71,4 г  этого вещества:

      ν(Al2O3)=m(Al2O3)M(Al2O3)=0.7 моль\nu(Al_2O_3)=\frac{m(Al_2O_3)}{M(Al_2O_3)}=0.7\;моль.

    Поскольку 11 молекула Al2O3Al_2O_3 cодержит 33 атома кислорода, в 11 моль оксида алюминия содержится 33 моль атомного кислорода. ν(O)=3ν(Al2O3)=2.1моль\nu(O) = 3\nu(Al_2O_3) = 2.1 моль .

    ПРИМЕР 2
    Условие:  Массовая доля серы в оксиде 40%40%. Определить простейшую формулу оксида.
    11 способ: Рассмотрим 11 моль вещества SxOyS_xO_y. Массы отдельных компонентов можно выразить через молярную массу этого вещества ММ
    m(S)=m(SxOy)·ω(S)100%=0,4Mm(S) = m(S_xO_y)\cdot\frac{\omega(S)}{100\%}=0,4M
    m(O)=m(SxOy)-(S)=M-0,4M=0,6Mm(O) = m(S_xO_y) - (S) = M-0,4M = 0,6M
    Перейдём к количествам веществ атомных SS и OO:
    ν(S)=m(S)M(S)=0,4M32=0,0125M\nu(S) = \frac{m(S)}{M(S)} = \frac{0,4M}{32} = 0,0125M
    ν(O)=m(O)M(O)=0,6M15=0,0375M\nu(O) = \frac{m(O)}{M(O)} = \frac{0,6M}{15} = 0,0375M
    Отношение количеств веществ атомных SS и OO даёт нам простейшую формулу оксида серы:
    x:y=ν(S):ν(O)=1:3,=>SO3x:y = \nu(S) : \nu(O) = 1:3, => SO_3
    22 способ: запишем формулу оксида серы в виде SxOyS_xO_y. Выразим xx и yy через относительные атомные массы элементов и молекулярную массу соединения:
    x=Mr(SxOY)ω(S)Ar(S), y=Mr(SxOY)ω(O)Ar(O)x=\frac{M_r(S_xO_Y)\omega(S)}{A_r(S)},\;y=\frac{M_r(S_xO_Y)\omega(O)}{A_r(O)}
    Находим соотношение x:yx:y и сокращаем относительную молекулярную массу:
    x:y=Mr(SxOY)ω(S)Ar(S):Mr(SxOY)ω(O)Ar(O)x:y=\frac{M_r(S_xO_Y)\omega(S)}{A_r(S)}:\frac{M_r(S_xO_Y)\omega(O)}{A_r(O)}
    x:y=ω(S)Ar(S):ω(O)Ar(O)x:y=\frac{\omega(S)}{A_r(S)}:\frac{\omega(O)}{A_r(O)}
    Подставляя данные, получаем соотношение:
    x:y=0,432:0,616=1:3=>SO3x:y=\frac{0,4}{32}:\frac{0,6}{16}=1:3 => SO_3
    ПРИМЕР 3
    Условие:  Вещество содержит 14,29%14,29 % ( масс.) водорода и 85,71%85,71%масс углерода. Определить формулу этого вещества, если его молярная масса 28гмоль28 \frac{г}{моль}При расчетах массовой доли удобнее всего рассматривать 100г100 г вещества или массу 11 моль вещества. Рассмотрим оба варианта.
    11 способ. Возьмем 100г100 г вещества CxHyC_xH_y. Учитывая массовые доли элементов в этом соединении, находим массы углерода и водорода во взятой пробе этого вещества.
    m(C)=m(CxHy)·ω(C)100%=100г·0,8571%=85,71гm(C) = m(C_xH_y)\cdot\frac{\omega(C)}{100\%}=100г\cdot0,8571\%=85,71г
    m(H)=m(CxHy)·ω(H)100%=100г·0,1429%=14,29гm(H) = m(C_xH_y)\cdot\frac{\omega(H)}{100\%}=100г\cdot0,1429\%=14,29г
    11 моль вещества CxHyC_xH_y состоит из xx моль атомов СС и yy моль атомов НН. Числа xx и уу относятся друг к другу, как количества веществ СС и НН. Поэтому находим количества веществ атомного углерода и водорода, содержащиеся в найденных массах.
    ν(C)=m(C)M(C)=7,14моль\nu(C)=\frac{m(C)}{M(C)}=7,14моль
    ν(H)=m(H)M(H)=14,29моль\nu(H)=\frac{m(H)}{M(H)}=14,29моль
    Находим соотношение x:yx:y:
    x:y=7,14:14,29=1:2x:y=7,14:14,29=1:2
    Получается, что формула соединения CH2CH_2, однако такое соединение реально не существует. Мы нашли простейшую формулу вещества. Для установления истинной формулы потребуется молярная масса. Известная по условию задачи молярная масса вещества складывается из относительных атомных масс элементов с учетом их содержания. Тогда проверяем соотношение x:y=ν(C):ν(H)=2:4x:y=\nu(C):\nu(H)=2:4
    M(CxHy)=12x+y=2*12+4*1=28гмольM(C_xH_y)=12x+y=2*12+4*1=28\frac{г}{моль}
    Используя данное соотношение x:yx:y, мы вышли на заданную молярную массу, т. е. формула вещества C2H4C_2H_4 (этилен).
    22 способ. Возьмём 11 моль вещества CxHyC_xH_y. Его масса численно равна молярной массе, т. е. 28г28 г. Находим массы отдельных компонентов:
    m(C)=m(CxHy)·ω(C)100%=28г·0,8571%=24гm(C) = m(C_xH_y)\cdot\frac{\omega(C)}{100\%}=28г\cdot0,8571\%=24г
    m(H)=m(CxHy)·ω(H)100%=28г·0,1429%=4гm(H) = m(C_xH_y)\cdot\frac{\omega(H)}{100\%}=28г\cdot0,1429\%=4г
    Переводим массы в количества веществ атомных СС и НН:
    ν(C)=m(C)M(C)=2моль\nu(C)=\frac{m(C)}{M(C)}=2моль
    ν(H)=m(H)M(H)=4моль\nu(H)=\frac{m(H)}{M(H)}=4моль
    В 11 моль вещества CxHyC_xH_y содержится 22 моль СС и 44 моль НН, значит формула вещества C2H4C_2H_4.
    ПРИМЕР 4
    Условие: Найти массовую долю фосфата кальция в фосфорите, если массовая доля кальция в фосфорите составляет 26,1%26,1%.
    Решение: Фосфорит состоит из фосфата кальция и примесей, не содержащих кальций. Возьмем образец фосфорита массой 100г100 г. На массу кальция, содержащегося в этом образце, приходится 26,1%26,1% от этой величины: m(Ca)=26,1гm(Ca) = 26,1 г. Находим количество вещества кальция:
    ν(Ca)=m(Ca)M(Ca)=26,1г40г/моль=0,65моль\nu(Ca)=\frac{m(Ca)}{M(Ca)}=\frac{26,1г}{40г/моль}=0,65моль
    Кальций содержится в фосфорите в виде фосфата кальция Ca3(PO4)2Ca_3(PO_4)_2. Согласно этой формуле, 11 моль фосфата кальция содержит 33 моль кальция. Находим количество вещества фосфата кальция:
    11 моль :3: 3 моль = хх моль :0,65: 0,65 моль, х=0,65:30,22мольх = 0,65 : 3\approx0,22 моль

    Определим массу 0,220,22 моль фосфата кальция:
    m=ν·M=0,22моль·310гмоль=67,4гm=\nu\cdot M=0,22 моль\cdot310\frac{г}{моль}=67,4г
    Но массовая доля вещества есть отношение его массы к массе всей смеси (образца фосфорита), поэтому:
    ω=mmфосф·100%=67,4%\omega=\frac m{m_{фосф}}\cdot100\%=67,4\%

    Ответ. Массовая доля Ca3(PO4)2Ca_3(PO_4)_2 в фосфорите составляет 67,4%67,4%.
    ПРИМЕР 5
    Условие: Определите возможную формулу бинарного соединения, одним элементом которого является азот. Массовая доля азота в соединении равна 36,84%36,84%, мольная доля – 40%40%.
    Решение: Обозначим формулу соединения как NxRyN_xR_y, где RR – неизвестный элемент. Выразим мольную долю азота и найдем соотношение y:хy : х :
    X(N)=xx+y=0,4X(N)=\frac{x}{x+y}=0,4
    Находим y:x=1,5:1y:x=1,5:1. Выражаем массовую долю азота и находим молярную массу RR, которая позволит идентифицировать элемент:

    ω(N)=M(N)1,5M(R)+M(N)=0,3684; M(R)=16гмоль\omega(N)=\frac{M(N)}{1,5M(R)+M(N)}=0,3684;\;M(R)=16\frac г{моль}
    M(R)=16гмольM(R)=16\frac г{моль}, следовательно, второй элемент — кислород. Значит, формула соединения NO1,5NO_{1,5}, но такого соединения не существует. Тогда проверяем соотношение 2:3=>N2O32:3 => N_2O_3 других оксидов азота с данным соотношением элементов не существует
    Ответ. N2O3N_2O_3
  • Самостоятельно присуждать ученые степени смогут 19 вузов и 4 научные организации

    Премьер-министр России Дмитрий Анатольевич Медведев утвердил перечень научных и образовательных организаций, которым предоставляется право самим присуждать ученые степени с 1 сентября текущего года. Документ был подготовлен Минобранауки РФ. 

    В список вошли 19 высших учебных заведений и 4 научные организации, среди которых Московский государственный институт международных отношений (МГИМО) МИД РФ, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Московский физико-технический институт, Российский университет дружбы народов, Казанский (Приволжский) федеральный университет и др. 

  • Список 100 лучших школ Подмосковья по итогам 2016–2017 учебного года

    Власти Подмосковья составили рейтинг лучших школ региона по итогам 2016–2017 учебного года. Первые места заняли школа-интернат имени П. Л. Капицы (Физтех-Лицей), физико-математический лицей №5 в Долгопрудном и лицей научно-инженерного профиля в Королеве.