Все статьи » ЗФТШ Математика

Статьи

  • Домашнее задание

    Прежде чем приступать к его выполнению, ознакомьтесь с нашими пожеланиями и требованиями.1. За краткий ответ «да», «нет», «не может быть» без пояснений (доказательство, опровергающий пример) ставится 0 очков. Примеры...

  • §4. Свойства трапеции

    Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства. 4.1°. Диаго...

  • §3. Площади четырёхугольников

    В школьном учебнике выведены следующие формулы площади параллелограмма: S=aha=bhb  (6)S = ah_a = bh_b    (6) S=absinϕ     (7)S = absin\phi          (7) Где aa и b-b - стороны параллелограмма,aha_h и bh-b_h -&...

  • Введение

    В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограммов, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мен...

  • §2. Площадь треугольника. Метод площадей

    В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.Пусть А,ВА, В и СС – углы треугольника АВС;a,bАВС; a, b и сс – противолежащие этим углам стороны; ha,hb,hch_a ,...

  • §1. Теоремы косинусов и синусов

    Для произвольного треугольника, длины сторон которого, противолежащие вершинам A,BA , B и CC, обозначим a,ba, b и cc, справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника. Утверждения этих теорем кратко можно запи...

  • §1. Свойства модуля. Уравнения с модулем

    Напомним определение модуля числа: \[ |a| = \left\{ \begin{aligned} a \text{, если } & a \ge 0, \\ -a \text{, если } & a < 0 \end{aligned} \right.  \] Отметим следующие свойства модуля, вытекающие непосредственно из определения. ...

  • Сводка полезных формул по геометрии

    Формулы площади треугольника: S=12ah (a - основание, h - высота к a);S=12ab*sinC (a, b - с...

  • § 5. Рисунок в геометрической задаче

    В заключении остановимся на ещё  не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач. Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения...

  • §4. Теоремы косинусов и синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач

    Как обычно, в треугольнике ABCABC стороны, противолежащие углам A, B u C,A,\;B\;u\;C,  обозначим a,b u ca,b\;u\;c соответственно. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольн...

  • § 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

    Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко исполь...

  • §3. Свойства касательных, хорд, секущих. Вписанные и описанные четырёхугольники

    Рис. 17 Свойство 1 (свойство касательных) Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между кас...

  • §3. Многочлены

    Многочленом с одной переменной называется выражение вида   `P(x) = a_n x^n + a_(n-1)  x^(n-1) +a_(n-2)  x^(n-2) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 (a_n != 0)`.           (8) Числа `a_0`, `a_1`, `...`, `a_n` - э...

  • Графики в задачах с параметрами

    Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически. Пример 21 Найдём количество решений уравнения 5+4|x|−x2=a\sqrt{5 + 4|x| − x^2} = a в зависимости от aa. Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графико...

  • §2. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая

    Задача о «делении отрезка», как правило, решаются дополнительным построением – проведением прямой, параллельной рассекающей, и использованием подобия или теоремы о пересечении сторон угла параллельными прямыми. Общий подход к решению ...

  • Построение окружности

    Одним из самых известных уравнений, допускающих красивую геометрическую интерпретацию, является уравнение вида (x−a)2+(y−b)2=r2(x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2. (ОКР) Если заданы числа aa, bb и rr, то легко понять, что точка с координатами x...

  • Построение множеств точек на плоскости

    Пример 15. Пример 15. Построим множество точек (x,y)(x, y), удовлетворяющих уравнению x2+xy=0x^2 + xy = 0. Преобразуем уравнение: x(x+y)=0x(x + y) = 0. Таким образом, заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0x = 0 или 4x+...

  • Метод областей на координатной плоскости

    Аналог метода интервалов на числовой прямой естественно примени́м и в случае наличия в задаче двух переменных – xx и yy. Только тогда вместо интервалов на прямой появляются области на координатной плоскости, в которых определены знаки всех подмод...

  • Построение графиков с модулями методом интервалов

    Если нужно построить график функции вида y=f(|x−a1|y = f(|x − a_1|, |x−a2||x − a_2|,…, |x−an|)|x − a_n|), где a1a_1, a2a_2,…, ana_n – некоторые фиксированные числа, то в общем случае нет иного подхода, помимо ра...

  • Построение графиков дробно-линейных функций

    Рассмотрим специальный класс функций, графиками которых будут гиперболы. Определение. Дробно-линейной называют всякую функцию вида f(x)=ax+bcx+df(x) = {ax + b\over{cx + d}} , где cc и dd одновременно не равны 0. Поскольку случай с=0с = 0...